TRƯỜNG THPT CHUYấN VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2015ư2016ưLẦN I Mụn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề. Cõu 1 (1,0 điểm). Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số = - + 3 2 3 2 y x x Cõu 2 (1,0 điểm).Tỡm cực trị của hàm số : sin 2 2 y x x = - + . Cõu 3 (1,0 điểm). a) Cho tan 3 = a . Tớnh giỏ trị biểu thức 3 3 3sin 2cos 5sin 4cos M - = + a a a a b) Tớnh giới hạn : 2 3 4 3 lim 9 x x x L x đ - - = - Cõu 4 (1,0 điểm). Giải phương trỡnh : 2 2 3sin 4sin cos 5cos 2 x x x x - + = Cõu 5 (1,0 điểm). a) Tỡm hệ số của 10 x trong khai triển của biểu thức : 5 3 2 2 3x x ổ ử - ỗ ữ ố ứ . b) Một hộp chứa 20 quả cầu giống nhau gồm 12 quả đỏ và 8 quả xanh. Lấy ngẫu nhiờn (đồng thời) 3quả. Tớnh xỏc suất để cú ớt nhất một quả cầu màu xanh. Cõu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ( ) Oxy , cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú hai đỉnh ( ) 2; 1 A - - , ( ) 5;0 D và cú tõm ( ) 2;1 I . Hóy xỏc định tọa độ hai đỉnh , B C và gúc nhọn hợp bởi hai đường chộo của hỡnh bỡnh hành đó cho. Cõu 7 (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A , mặt bờn SAB là tam giỏc đều và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với mặt phẳng ( ) ABC , gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho 2 MC MS = . Biết 3, 3 3 AB BC = = , tớnh thể tớch của khối chúp S.ABC và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AC và BM . Cõu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ( ) Oxy , cho tam giỏc ABC ngoại tiếp đường trũn tõm ( ) 2;1 J . Biết đường cao xuất phỏt từ đỉnh A của tam giỏc ABC cú phương trỡnh : 2 10 0 x y + - = và ( ) 2; 4 D - là giao điểm thứ hai của AJ với đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC . Tỡm tọa độ cỏc đỉnh tam giỏc ABC biết B cú hoành độ õm và B thuộc đường thẳng cú phương trỡnh 7 0 x y + + = . Cõu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh : 3 3 2 2 3 2 3 12 7 3 6 2 4 4 2 x y x y x y x y x y x y ỡ - + - + = - ù ớ + + - = + - - ù ợ Cõu 10 (1,0 điểm).Cho hai phương trỡnh : 3 2 2 3 4 0 x x x + + + = và 3 2 8 23 26 0 x x x - + - = . Chứng minh rằng mỗi phương trỡnh trờn cú đỳng một nghiệm, tớnh tổng hai nghiệm đú. ưưưưưưưưHếtưưưưưưư Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. Họ và tờn thớ sinh:.......; Số bỏo danh: Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển (https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đó chia sẻ đến www.laisac.page.tl TRƯỜNG THPT CHUYấN VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THPT QUỐC GIA LẦN I NĂM HỌC 2015ư2016 Mụn: TOÁN ( Gồm 6 trang) Cõu Đỏp ỏn Điểm Cõu 1.Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số = - + 3 2 3 2 y x x 1,0 Tập xỏc định: D = Ă . Ta cú 2 3 6 y' x x. = - ; 0 0 2 x y' x = ộ = Û ờ = ở 0,25 ư Xột dấu đạo hàm; Hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng ( ;0) -Ơ và (2; ) +Ơ ; nghịch biến trờn khoảng (0;2) . ư Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ= 2; đạt cực tiểu tại x = 2, yCT =ư2. ư Giới hạn: lim , lim x x y y đ+Ơ đ-Ơ = +Ơ = -Ơ 0,25 Bảng biến thiờn: x -Ơ 0 2 +Ơ y' + 0 ư 0 + y 2 +Ơ -Ơ ư2 0,25 1 (1,0 đ) Đồ thị: f(x)=(x^3)ư3*(x)^2+2 ư8 ư6 ư4 ư2 2 4 6 8 ư5 5 x y 0,25 Cõu 2 .Tỡm cực trị của hàm số : sin 2 2 y x x = - + . 1,0 Tập xỏc định D = Ă ( ) ( ) 1 2cos 2 , 4sin 2 f x x f x x  Â = - = 0,25 2 (1,0 đ) ( ) 1 0 1 2cos 2 0 cos 2 , 2 6 f x x x x k k p  = Û - = Û = Û = ± + p ẻ 0,25 4sin 2 3 0 6 3 f k p p ổ ử ổ ử  - + p = - = - < ị ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ hàm số đạt cực đại tại 6 i x k p = - + p Với 3 2 , 6 6 2 C y f k k k p p ổ ử = - + p = - + + + p ẻ ỗ ữ ố ứ D  0,25 4sin 2 3 0 6 3 f k p p ổ ử ổ ử  + p = = > ị ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ hàm số đạt cực tiểu tại 6 i x k p = + p Với 3 2 , 6 6 2 C y f k k k p p ổ ử = + p = - + + p ẻ ỗ ữ ố ứ T  0,25 Cho tan 3 = a . Tớnh giỏ trị biểu thức 3 3 3sin 2cos 5sin 4cos M - = + a a a a 0,5 ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 3sin sin cos 2cos sin cos 5sin 4cos M + - + = + a a a a a a a a 3 2 2 3 3 3 3sin 2sin cos 3sin cos 2cos 5sin 4cos - + - = + a a a a a a a a (chia tử và mẫu cho 3 cos a ) 3 2 3 3 tan 2 tan 3tan 2 5 tan 4 - + - = + a a a a 0,25 3.(1,0đ) Thay tan 3 = a vào ta được 3 2 3 3.3 2.3 3.3 2 70 5.3 4 139 M - + - = = + 0,25 Lưu ý: HS cũng cú thể từ tan 3 a = suy ra 2 2 2 k k p p a p < < + và 1 3 cos ; sin 10 10 a a = = rồi thay vào biểu thức M. b) Tớnh giới hạn : 2 3 4 3 lim 9 x x x L x đ - - = - 0,5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 4 3 4 3 4 3 lim lim 9 4 3 9 4 3 x x x x x x x x L x x x x x x đ đ - - + - - + = = - + - - + - 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 1 1 lim 18 3 4 3 3 3 3 4.3 1 x x L x x x đ - - = = = + + - + + - 0,25 Cõu 4.Giải phương trỡnh : 2 2 3sin 4sin cos 5cos 2 x x x x - + = 1,0 4 .(1,0 đ) Phương trỡnh ( ) 2 2 2 2 3sin 4sin cos 5cos 2 sin cos x x x x x x Û - + = + 2 2 sin 4sin cos 3cos 0 x x x x Û - + = 0,25 ( ) ( ) sin cos sin 3cos 0 sin cos 0 sin 3cos 0 x x x x x x x x Û - - = Û - = Ú - = 0,25 tan 1 tan 3 arctan3 , 4 x x x k x k k p Û = Ú = Û = + p Ú = + p ẻZ 0,25 Vậy phương trỡnh cú hai họ nghiệm: , arctan 3 , 4 x k x k k p = + p = + p ẻZ 0,25 a) Tỡm hệ số của số hạng chứa 10 x trong khai triển của biểu thức : 5 3 2 2 3x x ổ ử - ỗ ữ ố ứ . 1,0 ( ) ( ) 5 5 5 5 3 3 5 15 5 5 5 2 2 0 0 2 2 3 3 . 1 3 .2 k k k k k k k k k k x C x C x x x - - - = = ổ ử ổ ử - = - = - ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ồ ồ 0,25 Hệ số của của số hạng chứa 10 x là 5 5 ( 1) 3 2 , k k k k C - - với 15 5 10 1 k k - = Û = Vậy hệ số của 10 x là : ( ) 1 1 4 1 5 1 3 2 810 C - = - 0,25 5 (1,0 đ) b) Một hộp chứa 20 quả cầu giống nhau gồm 12 quả đỏ và 8 quả xanh. Lấy ngẫu nhiờn3quả. Tớnh xỏc suất để trong 3 quả cầu chọn ra cú ớt nhất một quả cầu màu xanh. Số phần tử của khụng gian mẫu là ( ) 3 20 n C W = GọiA là biến cố “Chọn được ba quả cầu trong đú cú ớt nhất một quả cầu màu xanh” 0,25 Thỡ A là biến cố “Chọn được ba quả cầu màu đỏ” ( ) ( ) 3 3 12 12 3 20 C n A C P A C ị = ị = Vậy xỏc suất của biến cố A là ( ) ( ) 3 12 3 20 46 1 1 57 C P A P A C = - = - = 0,25 Cõu 6 . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ( ) Oxy , cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú hai đỉnh ( ) 2; 1 A - - , ( ) 5;0 D và cú tõm ( ) 2;1 I . Hóy xỏc định tọa độ hai đỉnh , B C và gúc nhọn hợp bởi hai đường chộo của hỡnh bỡnh hành đó cho. 1,0 Do I là trung điểm BD . Suy ra ( ) 2 4 5 1 1;2 2 2 0 2 B I D B I D x x x B y y y = - = - = - ỡ ị - ớ = - = - = ợ 0,25 6 .(1,0 đ) Do I là trung điểm AC . Suy ra ( ) 2 4 2 6 6;3 2 2 1 3 C I A C I A x x x C y y y = - = + = ỡ ị ớ = - = + = ợ 0,25 Gúc nhọn ( ) , AC BD a = . Ta cú ( ) ( ) 8;4 , 6; 2 AC BD = = - uuur uuur 0,25 ( ) 48 8 2 cos cos , 45 2 4 5.2 10 AC BD AC BD AC BD ì - a = = = = ị a = o uuur uuur uuur uuur uuur uuur 0,25 Cõu 7 . Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A , mặt bờn SAB là tam giỏc đều và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với mặt phẳng ( ) ABC , gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho 2 MC MS = . Biết 3, 3 3 AB BC = = , tớnh thể tớch của khối chúp S.ABC và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AC và BM . 1,0 Gọi H là trung điểm AB SH AB ị ^ ( do SAB D đều). Do ( ) ( ) ( ) SAB ABC SH ABC ^ ị ^ Do ABC D đều cạnh bằng 3 nờn 2 2 3 3 S , 3 2 2 H AC BC AB = = - = K N M H C B A S 0,25 3 . 1 1 3 6 9 6 3 6 12 4 S ABC ABC V SH S SH AB AC ị = ì ì = ì ì ì = = (đvtt) 0,25 7. (1,0 đ) Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA tại ( ) || || N AC MN AC BMN ị ị ( ) , AC AB AC SH AC SAB ^ ^ ị ^ , ( ) ( ) || AC MN MN SAB MN SAB ị ^ ị ^ ( ) ( ) BMN SAB ị ^ theo giao tuyến BN . Ta cú ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) || , , , AC BMN d AC BM d AC BMN d A BMN AK ị = = = với K là hỡnh chiếu của A trờn BN 0,25 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 2 ABN SAB NA MC S S SA SC = = ị = = ì = (đvdt) và 2 2 3 AN SA = = 0,25 2 2 0 2A . .cos60 7 BN AN AB N AB = + - = 3 3 2 2S 3 21 2 7 7 ABN AK BN ì ị = = = Vậy ( ) 3 21 d , 7 AC BM = (đvđd) Lưu ý: Việc tớnh thể tớch, học sinh cũng cú thể giải quyết theo hướng ( ) CA SAB ^ và . . S ABC C SAB V V = Cõu 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ( ) Oxy , cho tam giỏc ABC ngoại tiếp đường trũn tõm ( ) 2;1 J . Biết đường cao xuất phỏt từ đỉnh A của tam giỏc ABC cú phương trỡnh : 2 10 0 x y + - = và ( ) 2; 4 D - là giao điểm thứ hai của AJ với đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC . Tỡm tọa độ cỏc đỉnh tam giỏc ABC biết B cú hoành độ õm và B thuộc đường thẳng cú phương trỡnh 7 0 x y + + = . 1,0 AJ đi qua ( ) 2;1 J và ( ) 2; 4 D - nờn cú phương trỡnh : 2 0 AJ x - = { } , A AJ AH = ầ ( trong đú H là chõn đường cao xuất phỏt từ đỉnh A ) Tọa độ A là nghiệm của hệ ( ) 2 0 2 2;6 2 10 0 6 x x A x y y - = = ỡ ỡ Û ị ớ ớ + - = = ợ ợ 0,25 8 .(1,0 đ) Gọi E là giao điểm thứ hai của BJ với đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC . Ta cú ằ ằ DB DC DB DC = ị = và ằ ằ EC EA = ã 1 2 DBJ = (sđ ằ EC + sđ ằ DC )= 1 2 (sđ ằ EA + sđ ằ DB )= ã DJB DBJ ị D cõn tại D ị DC DB DJ = = hay D là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc JBC Suy ra , B C nằm trờn đường trũn tõm ( ) 2; 4 D - bỏn kớnh 2 2 0 5 5 JD = + = cú phương trỡnh ( ) ( ) 2 2 2 4 25 x y - + + = . Khi đú tọa độ B là nghiệm của hệ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3; 4 3 2 2 4 25 4 9 2; 9 7 0 B x x x y y y B x y ỡ - - ộ = - = ỡ ỡ - + + = ù Û Ú ị ờ ớ ớ ớ = - = - - + + = ợ ợ ờ ù ở ợ Do B cú hoành độ õm nờn ta được ( ) 3; 4 B - - 0,25 ( ) ( ) ( ) 3; 4 3; 4 : : 1; 2 AH qua B qua B BC BC vtpt n u AH - - ỡ - - ỡ ù ù ị ớ ớ = = - ^ ù ù ợ ợ r r : 2 5 0 BC x y ị - - = Khi đú tọa độ C là nghiệm của hệ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3; 4 3 5 2 4 25 5;0 4 0 5;0 2 5 0 C B x x x y C y y C x y ỡ - - º ộ = - = ỡ ỡ - + + = ù Û Ú ị ị ờ ớ ớ ớ = - = - - = ợ ợ ờ ù ở ợ Vậy ( ) ( ) ( ) 2;6 , 3; 4 , 5;0 A B C - - 0,25 Cõu 9. Giải hệ phương trỡnh : ( ) ( ) 3 3 2 2 3 2 3 12 7 3 6 1 2 4 4 2 2 x y x y x y x y x y x y ỡ - + - + = - ù ớ + + - = + - - ù ợ 1,0 Điều kiện : 2 0 2 4 0 4 x x y y + ³ ³ - ỡ ỡ Û ớ ớ - ³ Ê ợ ợ 0,25 H E J I D C B A Từ phương trỡnh ( ) 1 ta cú ( ) ( ) ( ) 3 3 1 2 1 2 1 3 x y x y y x - = - Û - = - Û = + 9 .(1,0 đ) Thay ( ) 3 vào ( ) 2 ta được pt: ( ) ( ) ( ) 2 3 2 4 1 1 4 2 1 x x x x x x + + - + = + + - - + Û 3 2 2 3 4 1 x x x x x + + - = + - - , Đ/K 2 3 x - Ê Ê 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 3 2 2 3 3 4 4 1 4 2 3 3 x x x x x x x x x x x + - - Û + + - - = + - - Û = + - + + - + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 4 1 4 2 3 3 2 3 2 x x x x x x x x + - - ộ ự ở ỷ Û = + - + + - + + - + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 x x x x x x x x x - + + Û = + - - + + - + + - + 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 2 0 2 3 3 2 3 2 x x x x x x x > ổ ử ỗ ữ ỗ ữ Û - - + + = ỗ ữ + + - + + - + ỗ ữ ỗ ữ ố ứ 144444444424444444443 2 2 0 2 1 x x x x Û - - = Û = Ú = - ã ( ) ( ) ( ) 3 2 3 ; 2;3 x y x y = ắắđ = ị = ( thỏa món đ/k) ã ( ) ( ) ( ) 3 1 0 ; 1;0 x y x y = - ắắđ = ị = - ( thỏa món đ/k) Vậy hệ phương trỡnh cú hai nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) ; 2;3 , ; 1;0 x y x y = = - 0,25 Cõu10.Chohai phương trỡnh: 3 2 2 3 4 0 x x x + + + = và 3 2 8 23 26 0 x x x - + - = .Chứng minh rằng mỗi phương trỡnh trờn cú đỳng một nghiệm, tớnh tổng hai nghiệm đú 1,0 ã Hàm số ( ) 3 2 2 3 4 f x x x x = + + + xỏc định và liờn tục trờn tập Ă Đạo hàm ( ) ( ) 2 3 2 3 0, f x x x x f x  = + + > " ẻ ị Ă đồng biến trờn Ă ( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 . 0 40 .4 160 0 4;0 : 0 ** f f a f a - = - = - < ị $ ẻ - = Từ ( ) * và ( ) ** suy ra phương trỡnh 3 2 2 3 4 0 x x x + + + = cú một nhiệm duy nhất x a = 0,25 10.(1,0đ) ã Tương tự phương trỡnh 3 2 8 23 26 0 x x x - + - = cú một nhiệm duy nhất x b = 0,25 Theo trờn : 3 2 2 3 4 0 a a a + + + = ( ) 1 Và ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 8 23 26 0 2 2 2 3 2 4 0 2 b b b b b b - + - = Û - + - + - + = Từ ( ) 1 và ( ) 2 ị ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 3 4 2 2 2 3 2 4 3 a a a b b b + + + = - + - + - + 0,25 Theo trờn hàm số ( ) 3 2 2 3 4 f x x x x = + + + đồng biến và liờn tục trờn tập Ă Đẳng thức ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 f a f b a b a b Û = - Û = - Û + = Vậy tổng hai nghiệm của hai phương trỡnh đú bằng 2 . 0,25 Lưu ý khi chấm bài: ư Đỏp ỏn chỉ trỡnh bày một cỏch giải bao gồm cỏc ý bắt buộc phải cú trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thỡ khụng cho điểm bước đú. ư Nếu học sinh giải cỏch khỏc, giỏm khảo căn cứ cỏc ý trong đỏp ỏn để cho điểm. ư Trong bài làm, nếu ở một bước nào đú bị sai thỡ cỏc phần sau cú sử dụng kết quả sai đú khụng được điểm. ư Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. ư Trong lời giải cõu 7 nếu học sinh khụng vẽ hỡnh thỡ khụng cho điểm. ư Điểm toàn bài tớnh đến 0,25 và khụng làm trũn. Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển (https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đó chia sẻ đến www.laisac.page.tl
Tài liệu đính kèm: