Đề thi olympic truyền thống 30-4 TP. HCM môn Toán 10 lần thứ XX năm 2014 môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
ĐỀ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30-4 MÔN
TOÁN 10 LẦN THỨ XX NĂM 2014
Môn : Toán
Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề )
Ngày thi : 05.04.2014
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1 (4, 0 điểm)
Giải hệ phương trình{︂√︀
5𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 2𝑦2 +
√︀
2𝑦2 + 2𝑥𝑦 + 5𝑦2 = 3(𝑥+ 𝑦)√
2𝑥+ 𝑦 + 1 + 2 3
√
7𝑥+ 12𝑦 + 8 = 2𝑥𝑦 + 𝑦 + 5
Bài 2 (4, 0 điểm)
Cho đường tròn (𝑂) đường kính 𝐴𝐵, 𝐶 là điểm di động trên (𝑂) không trùng 𝐴 và 𝐵. Các tiếp
tuyến tại 𝐵,𝐶 của (𝑂) cắt nhau tại 𝑁 . Giao điểm khác 𝐴 của 𝐴𝑁 với (𝑂) là 𝐷. Tiếp tuyến
của (𝑂) tại 𝐷 cắt 𝐶𝑁 tại 𝑃 . Chứng minh rằng 𝑃 di động trên một đường cố định khi điểm 𝐶
di động trên (𝑂)
Bài 3 (3, 0 điểm) Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh :
𝑎√
7𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
+
𝑏√
𝑎2 + 7𝑏2 + 𝑐2
+
𝑐√
𝑎2 + 𝑏2 + 7𝑐2
≤ 1
Bài 4 (3, 0 điểm)
Tìm số nguyên dương 𝑘 sao cho phương trình
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥+ 𝑦 = 𝑘𝑥𝑦
có nghiệm nguyên dương (𝑥, 𝑦)
Bài 5 (3, 0 điểm)
Cho trước số nguyên dương 𝑛 ≥ 2. Trong một giải đấu cờ vua có 2𝑛 vận động viên tham gia,
một người đấu với một người khác đúng một ván. Tại một thời điểm trong giải, người ta thấy
có 𝑛2 +1 ván đấu đã diễn ra. Chứng minh rằng khi đó có thể chọn ra ba vận động viên sao cho
hai người bất kì trong ba người được chọn đều đã thi đấu với nhau,
Bài 6 (3, 0 điểm)
Cho hàm số 𝑓 : N* → N * ∖ {1} và thỏa mãn :
𝑓(𝑛) + 𝑓(𝑛+ 1) = 𝑓(𝑛+ 2)𝑓(𝑛+ 3)− 168, ∀𝑛 ∈ N*
Tính 𝑓(2014)
------------------------------------ HẾT ------------------------------------
∙ Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
∙ Giám thị không giải thích thì thêm.
c○Diễn đàn Toán học