Đề thi olympic Toán 9 năm học 2014-2015 huyện Đức Thọ

PHÒNG GD-ĐT ĐỨC THỌ ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 9 NĂM HỌC 2014-2015
 Đề thi chính thức	 Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1: Cho biểu thức 
	a) Rút gọn A với 
	b) Tính giá trị của A khi và 
Bài 2: 	a) Giải phương trình 
	b) Giải hệ phương trình 
Bài 3: Cho phương trình (m là tham số)
	a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
	b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn 
Bài 4: Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Trên d lấy điểm M bất kì, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AOC, tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại E
	a) Chứng minh rằng 
	b) Chứng minh rằng CM vuông góc với OE
	c) Xác định vị trí của M để dây AB có độ dài nhỏ nhất
Bài 5: Cho x, y > 0 thỏa mãn . Tìm GTNN của 
BÀI GIẢI
Bài 1: 	a) Đặt 
	 (Vì x ³ y). Do đó 
b) 
 (Vì )
Vậy P = 1
Bài 2: 	a) Phương trình 
Đặt ta có phương trình (Vì y2 – 2y + 2 = (y – 1)2 + 1 > 0). Do đó 
. Phương trình có tập nghiệm S = {-2; -3}
	b) Hệ phương trình 
	Với x + y – 3 = 0 ta có có nghiệm (x, y) Î {(0, 3); (3, 0)}
	Với x + y + 4 = 0 ta có vô nghiệm
	Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) Î {(0, 3); (3, 0)}
Bài 3: 	a) Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì 
	b) Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 khi m ¹ 1
	Theo Viet thì . Ta có 
	 (TMĐK m ¹ 1)
(Vì ). Vậy m = 0 thỏa mãn bài toán
Bài 4: a) Gọi H là giao điểm MO và AB
Ta có nên DAHO ~ DACE (g - g)
b) Ta có (cùng chắn cung BC)
 (cùng phụ với ) 
Do đó và 
nên DBCE ~ DAMO (g - g) 
có nên DEBO ~ DCBM (c – g – c) . Gọi I, J lần lượt là giao điểm của OE với MC và BC ta có hay CM ^ OE
c) Kẻ OK ^ d cắt AB tại N. Ta có DOHN ~ DOKM (g - g) Þ ON. OK = OH. OM = OA2 = R2 
Vì đường thẳng d cố định nên K cố định, O cố định, suy ra N cố định hay ON không đổi
	Ta có không đổi
	Do đó AB nhỏ nhất khi ON = OH Þ N trùng H Þ M trùng K
Bài 5: Với a, b > 0 thì , thật vậy BĐT 
Áp dụng BĐT trên ta có . Áp dụng Bunhia được 
. GTNN của P là đạt được khi 
Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn – Đức Thọ - Hà Tĩnh
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN THI: TOÁN 
Ngày thi: 12/10/2015
Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
 (Đề thi này có 5 bài, gồm 01 trang)
Bài 1: (4,0 điểm) Cho 
 a) Rút gọn biểu thức A.
 b) Tìm giá trị của x để A = . 
Bài 2: (4,5 điểm) 
Tính 
 b) Cho x2 – x – 1 = 0. Tính giá trị của biểu thức:.
 c) Giải phương trình: .
Bài 3: (4,0 điểm) 
 a) Tìm số nguyên dương n bé nhất để F = n3 + 4n2 – 20n – 48 chia hết cho 125.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n >1 thì số A = n6 - n4 +2n3 + 2n2 không thể là số chính phương.
Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: 
 a) SABC = AB.BC.sinB và AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.
 b) tanB.tanC = . 
 c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF.
 d) .
Bài 5: (1,5 điểm) 
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: .
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . 
Hết
Họ tên thí sinh:................................................ Số báo danh:................. 
Giám thị không giải thích gì thêm
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 9
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN : TOÁN
 Hướng dẫn chấm này có 03 trang
Yêu cầu chung: 
Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng.
Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không cho điểm.
Yêu cầu cụ thể: 
Bài
Nội dung cần đạt
Điểm
1
a(2,0đ) 
Vậy với .
0,5
0,5
0,5
0,5
b(2,0đ) Với Ta có: 
Vậy A = x = .
0,5
1,0
0,5
2
 a(1,5đ) Ta có 
1,0
0,5
b(1,5đ) Ta có: x2 – x – 1 = 0 Þ x2 – x = 1 Þ (x2 – x)3 = 1 
Þ x6 – 3x5 + 3x4 – x3 = 1.
Mặt khác: x2 – x – 1 = 0 Þ x2 = x + 1 
Þ x6 = (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1.
.
0,5
0,5
0,5
c(1,5đ) ĐK: x2 – 9 > 0 Û 
 + Nếu x > 3: Bình phương hai vế của phương trình ta được: 
Đặt , được phương trình: . 
 Khi đó: Û x4 – 36x2 + 324 = 0 Û x2 = 18. 
Trong trường hợp này tìm được: 
 + Nếu x < –3: Khi đó: : PT vô nghiệm. 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: . 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3
a(2,0đ) Ta có: F = n3 + 4n2 – 20n – 48 = (n – 4)(n + 2)(n + 6).
Thử với n = 1; 2; 3 thì F đều không chia hết cho 125.
Thử với n = 4 thì F = 0 chia hết cho 125.
Vậy số nguyên dương bé nhất cần tìm là: n = 4.
1,0
0,5
0,25
0,25
b(2,0đ) A=n6 - n4 +2n3 + 2n2 
= n4(n2-1) + 2n2(n+1) 
= n2(n+1)(n3-n2 +2) 
= n2(n+1)[(n+1)(n2-2n+2)] 
= n2(n+1)2(n2-2n +2) = n2(n+1)2[(n-1)2 +1] 
Ta có: (n-1)2 1)
 (n-1)2 +1 không thể là số chính phương
 Vậy A không thể là số chính phương
0,5
0,5
0,5
0,5
4
A
B
C
H
D
E
F
a(2,0đ) 
* Ta có: SABC = .BC.AD.
DABD vuông tại D có AD =AB.sinB, do đó SABC = BC.AB.sinA.
DABE vuông ở E có AE = AB.cosA 
 DBFC vuông ở F có BF = BC.cosB 
 DACD vuông ở D có CD = AC.cosC 
Do đó AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.
1,0
1,0
b(1,5đ) Xét DABD có tanB = ; DACD có tanC = 
suy ra tanB.tanC = (1)
Do (cùng phụ với ) nên DBDH ~ DADC (g.g) Þ BD.DC = DH.DA 
Kết hợp với (1) được tanB.tanC = .
0,5
0,5
0,5
c(1,5đ) Chứng minh được DAEF ~ DABC (g.g) .
 Tương tự được nên mà BE ^ AC = 900. Từ đó suy ra Þ EH là phân trong của DDEF. 
Tương tự DH, FH cũng là phân giác trong của DDEF nên H là giao ba đường phân giác trong của DDEF.
0,5
0,5
0,5
d(1,0đ) Ta có : SBHC + SCHA + SAHB = SABC.
Dễ thấy DCHE ~ DCAF(g.g) 
Tương tự có ; . 
Do đó: 
0,25
0,25
0,25
0,25
5
Đặt Þ và .
Ta có: Þ
	.
Do đó: .
Tương tự: .
	.
Dấu đẳng thức xảy ra khi .
Vậy khi .
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
Người làm đáp án: Người thẩm định:
................................................... ........................................
................................................... Người duyệt:
UBND HUYỆN THANH SƠN
PHÒNG GD&ĐT
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học 2015 - 2016
Môn: Toán 
Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1(4,0 điểm).
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn .
Chứng minh rằng chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Câu 2(3,0 điểm). Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức B;
Tính giá trị của B khi ;
Tìm giá trị của x để B < 0.
Câu 3 (4,0 điểm). Giải các phương trình sau:
	a) .
b).
Câu 4 (7,0 điểm).
1. Cho tam giác ABC có góc B bằng 1200, BC = 12cm, AB = 6cm. Đường phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D.
	a) Tính độ dài đường phân giác BD;
	b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng 	AM vuông góc với BD.
	2. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Tính ?
Câu 5 (2,0 điểm).
a) Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
	b) Chứng minh rằng nếu a, b, c dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1 thì 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
 HUYỆN KỲ ANH	 NĂM HỌC 2015 – 2016
ĐỀ CHÍNH THỨC
 MÔN : Toán 9
 Thời gian : 150 phút
 (Không kể thời gian giao nhận đề)
Câu 1. Cho biểu thức 
Rút gọn A
Tìm các giá trị của x để 
Câu 2. Giải các phương trình sau:
	a) 
	b) 
Câu 3. Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn và 
	Chứng minh: 
Câu 4. Cho ABC có 3 góc nhọn, H là trực tâm. Lấy I thuộc đoạn thẳng BH, K thuộc đoạn thẳng CH sao cho .
Chứng minh AIK là tam giác cân.
Tìm điều kiện của ABC để: 
Câu 5. Cho a, b là hai số thực thỏa mãn a2 + b2 = 4. Chứng minh 
-------------------Hết----------------
PHÒNG GD & ĐT HUYỆN YÊN THÀNH 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn: Toán 9. Lớp: 9
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: (4,0 điểm)	a) Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là một số chính phương.
 b) Tìm số nguyên tố p sao cho A = 2 + p là số nguyên tố. 
Câu 2: (4,0 điểm)
 	a) Giải phương trình: x + 8 = 2 
 b) Tìm x, y, z biết: + + = 6 - - - 
Câu 3: (4,0 điểm) 
 	a) Cho f(x) = 1 + x + x + ... + x. Tính f(a) với a = + 	b) Cho x, y là hai số dương và x + y = 1.	 	 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = ( x+ ) + ( y+ ) 
Câu 4: (6,0 điểm) 
	Cho tam giác ABC vuông tại A, hình vuông ADEF sao cho D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh BC, F thuộc cạnh AC	a) Chứng minh rằng: BD.CF = 
 	b) Chứng minh rằng: = 	 	c) Cho biết cạnh hình vuông ADEF bằng 2, BC = 3. Tính cạnh AB và AC.
Câu 4: (2,0 điểm) 	 	Cho hình thoi ABCD có = 120. Tia Ax tạo với AD một góc 15 và cắt cạnh CD tại M, cắt đường thẳng BC tại N. Chứng minh rằng: + = 
------------------Hết-----------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
 SỞ GD&ĐT KIÊN GIANG ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG HUYỆN
PHÒNG GD&ĐT PHÚ QUỐC 	 Năm học: 2011- 2012 
 Môn: Toán
 Thời gian: 150 phút (Không tính thời gian phát đề)
Bài 1: ( 3 điểm ) CMR với mọi x,y nguyên thì
 A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương
Bài 2: (3 điểm) Giải phương trình: 
 	a) 
 	 b) 
Bài 3: (2điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì: 
 chia hết cho 24.
Bài 4: (2 điểm ) Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1
Tính: T = 
Bài 5: (4 điểm ) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = .
Bài 6: (3 điểm) 
Gọi H là trực tâm của tam giác đều ABC, đường cao AD. Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh BC; Gọi E và F thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC; Gọi I là trung điểm của AM.
a) Xác định dạng của tứ giác DEIF (1,5 điểm)
b) Chứng minh rằng các đường thẳng MH, ID, EF đồng quy (1,5 điểm)
Bài 7: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AM, BN vàCK của cắt nhau tại H. Điểm D đối xứng với điểm B qua điểm O 
	1/ Tính 
	2/ Chứng minh rằng có giá trị là một hằng số
------------------Hết-----------------
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Câu
Đáp án
Biểu điểm
Bài 1
(3điểm )
A =(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
 = (x + y)(x + 4y) (x + 2y)(x + 3y) + y4 
 = (x2 + 5xy + 4y2 )(x2 + 5xy + 6y2 )+ y4 
 = (x2 + 5xy + 5y2 - y2 )(x2 + 5xy + 5y2 + y2 ) + y4 
 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 - y4 + y4 
 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 
Do x , y Z nên x2 + 5xy + 5y2 Z 
 A là số chính phương
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 2
(3điểm )
a) PT đã cho tương đương:
Vì 
Nên Pt đã cho tương đương với x- 2000 = 0 x = 2000	 (0,25đ)
Vậy S = {2000}
b) 	Vậy S ={9}	
0,5
0,5
0,5
0,75
Bài 3
(2 điểm )
=
= 
= 
Vì n; n + 1; n + 2; n + 3; là bốn số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 2.3.4 = 24 và 24 (n - 1) chia hết cho 24 nên chia hết cho 24 
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 4
(2 điểm )
Ta có 	1+x2 = xy + yz + zx + x2 = y(x+z)+x(x+z) =(x+z)(x+y)	
Tương tự ta có:	1+y2 =(y+x)(y+z)
	1+z2 =(z+x)(z+y)	
T==
=x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)	= 2(xy+yz+zx) =2 . Vậy T = 2
1
0.5
0.5
Bài 5
(4 điểm )
Có: 
Þ = 
Þ 
Tương tự: 
P £ =
 = = 
Dấu “=” xảy ra khi 
Từ đó giá trị lớn nhất của P là đạt được khi và chỉ khi 
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
0.5
0.5
0.25
Bài 6
(3 điểm )
a) Xét tam giác AEM có: EI=1/2.AM và tam giác ADM có: DI=1/2.AM
	Do đó tam giác EID cân tại I (1) 
 Ngoài ra: GócEIM = 2.gócEAI và gócDIM=2.gócDAI
	=> góc EIM + góc DIM = góc EID = 2.góc EAD = 2.30o = 60o 
	Vậy góc EID = 60o (2) 
	Từ (1) và (2) => tam giác EID đều (3) 
	Tương tự ta chứng minh được tam giác IDF đều (4) 
	Từ (3) và (4) => DEIF là hình thoi. 
b) Gọi O là giao điểm của ID và EF, 
ta cần chứng minh: M,O,H thẳng hàng 
Thật vậy, gọi N là trung điểm của AH.
Vì H là trực tâm nên H cũng là trọng tâm của 
tam giác đều ABC => AN=NH=HD 
Khi đó: OH là đường trung bình của tam giác DIN
=> OH // IN 
và IN là đường trung bình của tam giác AHM
=> MH // IN 
Do đó M,O,H thẳng hàng hay MH, ID, EF đồng quy tại O. 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
Bài 7
(3 điểm )
1) Tam giác BCD có OB = OC = OD = bán kính đường tròn tâm O , nên tam giác BCD vuông tại C. Vay AH // DC ( vì cùng vuông góc với BC)
Tương tự tam giác ADB cũng vuông tại A, Do đó AD//CH (cùng vuông góc với) Vậy tứ giác AHCD là hình bình hành
Do đó AH= DC, suy ra = 1 
2/ Gọi S là diện tích và S1, S2, S3 theo thứ tự là diện tích của tam giác BHC, AHB, AHC.
Ta có S= 
S1= 
suy ra: (1)
Tương tự, ta có (2); (3)
Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta có: không đổi
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
 UBND HUYỆN PHÚ QUỐC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2010 - 2011
 Môn: Toán
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (6 điểm )
1) Chứng minh rằng M = 2 + 22 + 23 +  + 220 chia hết cho 15 ( 2 điểm )
2) Tìm tất cả các số nguyên tố p, sao cho p+8 và p+10 là các số nguyên tố (2 điểm )
3) Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số , sao cho: - =1980 ( 2 điểm )
Bài 2: (5 điểm) 
cho biểu thức: 
a/ Rút gọn Q với a > 0, a 1 và a4
b/ Tìm a để Q=-1
c/ Tìm a để Q > 0
Bài 3: (3 điểm)
 Tìm x, biếtt: 3x +1 - + 6 = 0 	
Bài 4: (6 điểm)
	Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O; R) có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại I và I khác O.
Chứng minh: IA . IC = IB . ID
Vẽ đường kính CE, chứng minh ABDE là hình thang cân. 
Suy ra: AB2 + CD2 = 4R2 và AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = 8R2
Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minhL AB = 2.OM
Từ A và B vẽ các đường thẳng vuông góc đến CD và lần lượt cắt BD tại F, cắt AC tại K. Chứng minh: A, B, K, F là bốn đỉnh của một tứ giác đặc biệt.
Bài 1: ( 6 điểm )
1) Chứng minh rằng M = 2 + 22 + 23 +  + 220 chia hết cho 15 ( 2 điểm )
Ta có: M = 2+22+23 +  + 220 
 = ( 2+22+23+24 ) + ( 25+26+27+28 ) +  + ( 217+218+219+220 ) (0,75 điểm )
 = 2.15 + 25.15 +  + 217 .15	 (0,5 điểm )
 = 15 ( 2 + 25 + 217 )	 	 (0,5 điểm )
Vậy M chia hết cho 15 	 (0,25 điểm )
2) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p+8 và p+10 là các số nguyên tố (2 điểm )
* Với p= 2 p + 8 và p + 10 là các hợp số ( Không TMĐK bài toán ) (0,25 điểm )
* Với p= 3 p + 8 và p + 10 là các số nguyên tố ( TMĐKbài toán ) 	 (0,25 điểm )
* Với p = 3k + 1 ( k N, k chẵn ) 
 p + 8 = 3k + 9 3 là hợp số	(Không TMĐK bài toán )	 	 (0,5 điểm )
*Với p = 3k + 2 (k N, k lẽ ) 
 p + 10 = 3k + 12 3 là hợp số	(Không TMĐK bài toán )	 (0,5 điểm )
Vậy với p = 3 thì p + 8 và p + 10 là các số nguyên tố	 (0,5 điểm )
3) Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số , sao cho: - =1980 ( 2 điểm )
- = 1980 	 (0,25 điểm )
 	 (10a+b+10b+a)(10a+b-10b-a) =1980 (0,25 điểm )
 11(a+b).9(a-b) =1980	 (0,25 điểm )
 99(a+b)(a-b) =1980	 (0,25 điểm )
 (a+b)(a-b)	 =20	 (0,25 điểm )	
Do18 > a+ba-b >0 và a + b và a – b cùng tính chẵn, lẽ nên
	a+b=10 và a-b=2 , suy ra a=6 ;b=4 	 (0,5 điểm )
	Vậy số cần tìm là 64	 (0,25điểm)	
Bài 2: (5 điểm)
a/ 
b/ Q = - 1 với (0,5 đ)
c/ Q > 0 với 
Vậy 
Bài 3: (3 điểm)
Tìm x, biết: 3x +1 - + 6 = 0 	
	3x +1 - 	(0,25 điểm)
	3x +1 - (1)	(0,25 điểm)
Trường hợp 3x-1 tức là x 	(0,25 điểm)
Từ (1) ta có PT: 3x+1-3x+1+6=0 (PT này vô nghiệm) 	(0,75 điểm)
Trường hợp 3x-1 <0 tức là x < 	Từ (1) ta có PT: 3x+1 -1+3x +6=0 	 x = -1 (TMĐK x< ) Vậy x = -1 là giá trị cần tìm 	
5
Hình vẽ tốt
0,5
a
Chứng minh được: Tam giác AID đồng dạng với tam giác BIC
1
b
Chỉ ra được EA và EB cùng vuông góc với AC
EA // DB
ABDE là hình thang (1)
Chứng minh được: (2)
Từ (1) và (2) ABDE là hình thang cân.
1
* Tam giác vuông EDC có:
ED2 + CD2 = EC2 = = 4R2
Mà ED = AB nên AB2 + CD2 = 4R2 (3)
* Tam giác vuông EBC có BE2 + BC2 = EC2 = 4R2
Mà BE = DA nên DA2 + BC2 = 4R2 (4)
Cộng (3) và (4) ta được: AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = 8R2
1
c
Nêu được OM là đường trung bình của 
nên OM = hay ED = 2.OM
Mà ED = AB
AB = 2.OM
1
d
Chứng minh được AEDF là hình bình hành
0,5
Chứng minh được ABKF là hình thoi
1