PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 8 Năm học: 2013 - 2014 Thời gian: 120 phút Câu 1(6điểm) 1. Giải phương trình sau: a. b. 2. Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 + y2 + z2 xy + xz + yz với mọi x , y ,z Câu 2 (5điểm) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho dư 10, f(x) chia cho dư 24, f(x) chia cho được thương là và còn dư. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: x2 – xy = 6x – 5y – 8 Câu 3 (2điểm) Cho a , b >0 và a + b =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = (1 + )2 + ( 1 +)2 Câu 4: (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC > AB) , đường cao AH (H BC) . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA . Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E . Chứng minh rằng BEC đồng dạng ADC .Tính độ dài đoạn BE theo m = AB Gọi M là trung điểm của đoạn BE . Chứng minh rằng BHM đồng dạng BEC . Tính số đo của góc AHM. Tia AM cắt BC tại G . Chứng minh : .Hết PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU ĐÁP ÁN OLYMPIC TOÁN 8 Năm học: 2013 - 2014 Nội dung đáp án Điểm Câu1 6 điểm 1) 4 điểm a) 2điểm Đặt: Phương trình đã cho trở thành: Khi đó, ta có: . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất . 0,5điểm 0,5điểm 0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm b) 2điểm Lập bảng xét dấu các nhị thức : x – 1 và x + 3 x - 3 1 x – 1 – | – 0 + x + 3 – 0 + | + +) Xét x < - 3 (1) Phương trình 1 – x – 3 – x = 4 - 2x = 6 x = - 3. Không thỏa mãn (1) +) Xét - 3 x 1 (2) Phương trình 1 – x + x +3 = 4 0x = 0 Thỏa mãn với mọi x R sao cho - 3 x 1 + ) Xét x 1 (3) Phương trình x – 1 + x+ 3= 4 2x = 2 x=1 . Thỏa mãn (3) Kết luận : Vậy phương trình có nghiệm - 3< x 1 0,25điểm 0, 5điểm 0,5 điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 2) 2điểm Có ( x – y )2 + ( y – z )2 + ( z – x )2 0 với mọi x, y ,z x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2xz + x2 0 2( x2 + y2 + z2) 2( xy + xz + yz ) x2 + y2 + z2 xy + xz +yz (đpcm) 0,5điểm 0,5 điểm 0,5điểm 0,5điểm Câu 2 5điểm 1) 2,5điểm Giả sử f(x) chia cho được thương là và còn dư là . Khi đó: Xét các giá trị riêng của x sao cho x2 – 4 = 0 (x – 2 )( x + 2) = 0 x = 2 hoặc x = - 2 Với x =2 f(2) = 2a +b Với x = - 2 f(- 2) = - 2a + b Theo đề bài, ta có: Do đó: Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: 0,5điểm 0,5điểm 0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm 2) 2,5 điểm x2 – xy = 6x – 5y - 8 x2 – 6x + 8 = y (x – 5 ) (2) y = ( vì x =5 không là nghiệm của phương trình (2)) y = x – 1 +. Vì x , y là nguyên nên x – 5 là ước của 3 Hay x – 5 { - 1, 1, 3 , - 3}hay x{ 4, 6 , 8 , 2} Khi x = 2 thì y = 0 . Khi x =4 thì y = 0 Khi x = 6 thì y = 8 . Khi x= 8 thì y =8 Vậy phương trình có nghiệm nguyên là ( x, y)= (2, 0) ,(4 , 0) ,(6, 8) ,(8, 8) 0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm Câu 3 2,0điểm M= ( 1 + )2 + ( 1 + )2 vì a + b =1 M = ( 2 + )2 + ( 2 + )2 M = 4 + + + 4 + + M = 8 + ( ) + 4( ) 8+ 2 + 4 . 2 = 18 ( vì a> 0, b> 0 nên và ) Dấu = xảy ra a = b và a + b = 1 a = b = Vậy min M = 18 Khi a = b = 0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm Câu 4 7,0điểm a) Vẽ hình Chứng minh CDE CAB (g.g) Suy ra Hai tam giác ADC và BEC có: Góc C chung. (Chứng minh trên) Do đó ADC BEC (c.g.c). Suy ra : góc BEC = góc ADC = 1350 ( vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết) Nên góc AEB = 450 .Do đó tam giác ABE vuông cân tại A . Suy ra : 2,5điểm 0,25điểm 0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm b) Ta có: (do ) Mà: ( tam giác AHD vuông cân tại H) Nên Mà (g . g ) Nên :( ) Do đó: (c.g.c), suy ra: 2,5điểm 0,25điểm 0,5điểm 0,5điểm 0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm c) Tam giác ABE vuông cân tại A , nên tia AM còn là phân giác của góc BAC. Suy ra AG là phân giác của góc BAC Suy ra: mà Do đó: 2,0điểm 0,5điểm 0,5điểm 0,5điểm 0,5điểm Điểm toàn bài 20 điểm ----------------------- Hết-----------------------
Tài liệu đính kèm: