Đề thi Olympic huyện năm học 2010 - 2011 môn Toán lớp 9

phòng gd - đt đức thọ
đề thi olympic huyện năm học 2010 - 2011
Môn toán lớp 9; Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1: Cho biểu thức:
Rút gọn 
Tìm giá trị lớn nhất của 
Bài 2: Giải các phương trình sau: a) b) 
Bài 3: Cho phương trình: (Trong đó là tham số )
a) Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 
b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt, hãy tìm một hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với tham số m.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) và I là điểm chính giữa cung AB
(Cung AB không chứa C, D). Dây ID, IC cắt AB lần lượt tại M và N
Chứng minh tứ giác DMNC nội tiếp
Đường thẳng IC và AD cắt nhau tại E ; đường thẳng ID và BC cắt nhau tại F. Chứng minh rằng FE song song với AB
Bài 5: Cho thoả mãn:. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lưu ý: Học sinh không được sử dụng bất kì loại máy tính bỏ túi nào
----- Hết -----
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
	Mụn: Toỏn
	Thời gian làm bài: 150 phỳt
	(khụng kể thời gian phỏt đề)
Cõu 1: (5điểm) Rỳt gọn biểu thức: 
a. với a > 0
b. Tớnh giỏ trị của tổng 
Cõu 2: (4điểm) Cho 	
a. Chứng minh ; (2điểm)
b. Tớnh S = x + y. (2điểm)
Cõu 3: (3điểm) Giải phương trỡnh . 
Cõu 4: (3,5điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 
 với a > 1, b > 1.
Cõu 5: (4,5điểm) 
Cho đường trũn tõm O, điểm K nằm bờn ngoài đường trũn. Kẻ cỏc tiếp tuyến KA, KB với đường trũn (A, B là cỏc tiếp điểm). Kẻ đường kớnh AOC. Tiếp tuyến của đường trũn (O) tại C cắt AB ở E. Chứng minh rằng: Cỏc tam giỏc KBC và OBE đồng dạng.
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện 
Đề chính thức
đề thi môn toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Cõu 1: (4 điểm)
	a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiờn n thỡ An = n(n+1)(n+2)(n+3)+ 1 là số chớnh phương.
	b. Tỡm cỏc số nguyờn x để x3 - 2x2 +9x - 9 chia hết cho x2 + 5
Cõu 2: (4 điểm)
	a. Tớnh giỏ trị của biểu thức A = với 
	b. Cho ba số thực dương a, b, c thoả món: .
	Chứng minh rằng: 
Cõu 3: ( 3 điểm) 
	Giải phương trỡnh: .
Cõu 4: (7 điểm)
	Từ điểm P nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với A và B là cỏc tiếp điểm. Gọi H là chõn đường vuụng gúc hạ từ A đến đường kớnh BC của đường trũn.
	a. Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH.
	b. Tớnh AH theo R và PO = d.
 c. Đường thẳng a đi qua P sao cho khoảng cỏch từ O đến đường thẳng a bằng R, đường thẳng vuụng gúc với PO tại O cắt tia PB tại M. Xỏc định vị trớ của điểm P trờn đường thẳng a để diện tớch POM đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Cõu 5: (2 điểm)
	Cho ba số dương a, b, c thoả món abc = 1. Chứng minh rằng:
-Hết-
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Mụn thi: Toỏn
Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
(Đề thi này gồm 01 trang)
Cõu 1: (3 điểm) Cho A = 
a) Rỳt gọn A.
b) Tìm x đờ̉ A > 0 .
c) Tỡm giỏ trị lớn nhất của A .
Cõu 2: (6 điểm)
	a) Giải phương trình: 
b) Giải bất phương trỡnh: |2x-7| < x2 + 2x + 2
c) Giải hợ̀ phương trình: 
Cõu 3 : (4 điểm)
a) Cho , tính giá trị của biờ̉u thức:
	b) Tìm sụ́ tự nhiờn n sao cho là sụ́ chính phương.
Cõu 4 : (5 điểm) 
a) Từ một điểm A nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N(O;R)). Trờn cung nhỏ MN lấy điểm P khỏc M và N. Tiếp tuyến tại P cắt AM tại B, cắt AN tại C. Cho A cố định và AO = a. Chứng minh chu vi tam giỏc ABC khụng đổi khi P di động trờn cung nhỏ MN. Tớnh giỏ trị khụng đổi ấy theo a và R.
b) Cho tam giỏc ABC cú diện tớch bằng 36 (đơn vị diện tớch). Trờn cạnh BC và cạnh CA lần lượt lấy điểm D và E sao cho DC = 3DB và EA = 2EC; AD cắt BE tại I. Tớnh diện tớch tam giỏc BID.
Cõu 5: (2 điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hết
ĐỀ CHÍNH THỨC 
	 	MễN: TOÁN 
 	 	 Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Bài 1. (4 điểm):
	Chứng minh: với x > 0
	Từ đú, cho biết biểu thức cú giỏ trị lớn nhất là bao nhiờu? Giỏ trị đú đạt được khi x bằng bao nhiờu?
Bài 2. (3 điểm):
 Một người đi bộ từ nhà đến sõn ga. Trong 12 phỳt đầu, người đú đi được 700m và thấy rằng như vậy sẽ đến sõn ga chậm 40 phỳt, vỡ thế trờn quóng đường cũn lại, người ấy đi với vận tốc 5km/h nờn đến sõn ga sớm 5 phỳt. Hóy tớnh quóng đường từ nhà đến sõn ga. 
Bài 3. (4 điểm): 
	a) Chứng minh rằng với mọi số nguyờn n thỡ n2 + n + 1 khụng chia hết cho 9.
	b) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử: x4 +2012x2+2011x +2012. 
Bài 4. (2 điểm): 
Giải phương trỡnh: .
Bài 5. (4 điểm): 
	Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn cú độ dài lần lượt là BH = 4cm và HC = 9cm. Gọi T và E là hỡnh chiếu của H trờn cạnh AB và AC.
	a) Tớnh độ dài TE.
	b) Cỏc đường thẳng vuụng gúc với TE tại T và E cắt BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH, N là trung điểm của CH.
	c) Tớnh diện tớch tứ giỏc TENM.
Bài 6. (3 điểm): 
	Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú = 1200 , AB = a, BC = b. Cỏc đường phõn giỏc của bốn gúc A, B, C, D cắt nhau tạo thành tứ giỏc MNPQ. Tớnh diện tớch tứ giỏc MNPQ? 
 HẾT 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 Mụn: Toỏn
 Lớp: 9
 Thời gian: 150 phỳt ( khụng kể thời gian phỏt đề)
ĐỀ BÀI
 Bài 1: (3,0 điểm)
 Cho a,b,c > 0. Chứng minh :
a) 
b) 
 Bài 2: (3,0 điểm)
 Cho biểu thức A= , với .
Rỳt gọn A.
Tỡm x sao cho A < 1
Bài 3: (4,0 điểm)
 Giải phương trỡnh.
	a) 
b) 
Bài 4: (2,5 điểm) Tỡm số tự nhiờn để và là hai số chớnh phương.
Bài 5: (1,5 điểm) Chứng minh đa thức sau.
 A = n3 + 3n2 + 2n chia hết cho 6, với mọi số nguyờn n
Bài 6: (6,0 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuụng gúc tại đỉnh A, đường cao AH. Đường trũn đường kớnh BH cắt cạnh AB tại điểm D và đường trũn đường kớnh CH cắt cạnh AC tại điểm E. Gọi I,J theo thứ tự là cỏc trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, CH
 a,Chứng minh bốn điểm A,D,H,E nằm trờn một đường trũn . Xỏc định hỡnh dạng tứ giỏc ADHE.
 b,Chứng minh DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường trũn 
 c,Cho biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tớnh độ dài đoạn thẳng DE?
đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Môn : Toán lớp 9
Năm học 2010-2011
( Thời gian làm bài 150 phút )
Câu 1: ( 2,5 điểm )
	1. So sánh : và 
	2. Cho biểu thức . Chứng minh rằng 
Câu 2: (1,0 điểm )
 	Chứng minh biểu thức : có giá trị là một số tự nhiên với 	
Câu 3: ( 2,5 điểm )
	1. Giải phương trình sau:
	2. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn 
Câu 4: (3,0 điểm )
	Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I.
	1. Chứng minh : 
	2. Biết góc MAN có số đo bằng 450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm. Tính diện tích tam giác AMN.
	3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, AK, AI ( P IK, QAK, R AI). Xác định vị trí điểm O để nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 5: ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c thoả mãn và . Chứng minh rằng: .
ĐỀ THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2011-2012
MễN TOÁN – Thời gian làm bài 150 phỳt
Bài 1: ( 3,5 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiờn n ta cú: 
	A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19
Bài 2: ( 2,5 điểm)
 	Tỡm số tự nhiờn n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chớnh phương
Bài 3: ( 3,0 điểm)
 	Cho a, b > 0 và a + b = 1.
 Chứng minh rằng : 
Bài 4: ( 3,0 điểm)
Cho x, y là hai số dương thỏa món : x2 + y2 = 4. 
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Bài 5: ( 4,0 điểm)
Cho tam giỏc ABC cú D là trung điểm cạnh BC, điểm M nằm trờn trung tuyến AD. Gọi I, K lần lượt là cỏc trung điểm tương ứng của MB, MC và P, Q là cỏc giao điểm tương ứng của cỏc tia DI, DK với cỏc cạnh AB, AC.
	Chứng minh: PQ // IK.
Bài 6: ( 4,0 điểm)
	Cho tam giỏc ABC cú BC = a , CA = b , AB = c. Gọi đường cao hạ từ cỏc đỉnh A,B,C xuống cỏc cạnh BC , CA và AB tương ứng là ha , hb , hc . Gọi O là một điểm bất kỳ trong tam giỏc đú và khoảng cỏch từ O xuống ba cạnh BC , CA và AB tương ứng là x , y và z .
	Tớnh 
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2009 - 2010
MễN: TOÁN - LỚP 9 
Ngày thi: 08 thỏng 12 năm 2009
Thời gian làm bài 120 phỳt khụng kể thời gian giao đề
 Đề thi cú 01 trang
Bài 1: (4,0 điểm) 
Cho biểu thức 
 Với 
a) Rỳt gọn biểu thức A.
b) Tớnh giỏ trị của A khi 
c) So sỏnh A với .
Bài 2: (3,5 điểm) Chứng minh rằng:
a) Biết a; b; c là 3 số thực thỏa món điều kiện: 
a = b + 1 = c + 2 ; c >0. 
b) Biểu thức cú giỏ trị là một số tự nhiờn.
Bài 3: (3,0 điểm) Giải phương trỡnh
a) 
b) .
Bài 4.(8,0 điểm)
Cho AB là đường kớnh của đường trũn (O;R). C là một điểm thay đổi trờn đường trũn (C khỏc A và B), kẻ CH vuụng gúc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường trũn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K.
a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cựng thuộc một đường trũn.
b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R).
c) Chứng minh K là trung điểm của CH.
d) Xỏc định vị trớ của C để chu vi tam giỏc ACB đạt giỏ trị lớn nhất? Tỡm giỏ trị lớn nhất đú theo R.
Bài 5: (1,5 điểm) Cho 
a) Chứng minh rằng M cú giỏ trị nguyờn.
b) Tỡm chữ số tận cựng của M. 
Chỳ ý: Thớ sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh.
phòng giáo dục-đào tạo đức thọ
đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn toán9
Năm học: 2008-2009
Thời gian: 150 phút
Bài 1: Chứng minh khi m thay đổi, các đường thẳng có phương trình:
(2m - 1) x + my + 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định
Bài 2: 	1/ Cho 
So sánh S với 
2/ Cho a; b; c là các số thực thoả mãn điều kiện: abc = 2008. Chứng minh rằng:
Bài 3: Cho x = . Tính giá trị của P = x2009 – 3x2008 + 9x2007 – 9x2006 + 2009
Bài 4: Giải phương trình: = 2009
Bài 5: Cho 00 < a < 900. Chứng minh rằng: 
Bài 6: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
 ≥ 
Bài 7: Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn: P(x + 1) = P(x) + 2x + 1 với "x ẻ R
Bài 8: Cho DABC có ba cạnh là a, b, c, có chu vi là 2p và diện tích S; r là bán kính đường tròn nội tiếp; ra là bán kinh đường tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác. Chứng minh: p(p – a) = S
Bài 9: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. M chuyển động trên nửa đường tròn. Xác định vị trí điểm M để MA + MB đạt giá trị lớn nhất
Bài 10: Cho dãy số được xác định theo công thức:
. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì dãy các tổng tương ứng a1 + a2 + ... ap – 1 đều chia hết cho p
----------------- Hết -------------
đề kiểm tra chọn đội tuyển môn toán
Năm học 2005-2006
Thời gian làm bài 90 phút
 Câu I. Tìm tập hợp số hữu tỷ x để là số hữu tỷ ?
 Câu II. x, y, z là các số thực dương thoả mãn . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + y + z
 Câu III. Giải phương trình: 81x4 + 5 = 3
 Câu IV. Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a, kí hiệu: . Tìm x thoả mãn:
 = 
 Câu V. Cho hình vuông ABCD, trên đường chéo AC lấy điểm M; I, Q là trung điểm của AM và MC. Qua M vẽ đường thẳng song song với AD, đường thẳng này cắt AB tại N, cắt CD tại K. 
 Chứng minh: IB.AK = DQ.CN
Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2008 - 2009
Thời gian: 120 phút
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau
	P = 
	Q = 
Bài 2: Biết . Chứng minh rằng: 
Bài 3: Chứng minh rằng với a < 450, ta có sin2a = 2sina. cosa.
Bài 4: Cho tam giác ABC có (a, c là hai độ dài cho trước). Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.
	a/ Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. 
	 Tính diện tích lớn nhất đó.
	b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thước kẻ và com-pa. 
 Tính diện tích của hình vuông đó
Bài 5: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
---------------------- Hết -----------------
đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9, Năm học 2007-2008
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1. Tìm x, y N* sao cho:
 	a) xy - 3x + y = 20; b) 
Câu 2. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6abc.
Chứng minh 
Tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 3. a) Tìm phần dư R(x) khi chia đa thức P(x) = x2007 + x207 + x27 + x7 + x + 1 cho đa thức Q(x) = x3 - x 
 b) Tìm đa thức f(x) = 2x2 + ax + b biết thì 
Câu 4. Giải phương trình: 
Câu 5. Cho tam giác cân ABC ( > 900) , H là trung điểm của BC. Kẻ HD vuông góc với AC (D AC). Đường thẳng AI vuông góc với BD (I BD) cắt HD tại O. Chứng minh:
Sin2 = 2 sin.cos 
O là trung điểm của HD.
Phòng gd-đt đức thọ
đề thi học sinh giỏi đợt i Năm học 2006-2007
môn toán lớp 9
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1. Rút gọn biểu thức: 
Câu 2.Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Câu 3. Cho đa thức:
 P(x) = x5 + a x4 + b x3 + c x2 + d x + e, biết: 
 P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4 ) = 16; P(5) = 25 
Tìm P(6) ?
Tìm các hệ số a, b, c, d, e của đa thức P(x) ?
Câu 4. a) Chứng minh: . Trong đó x > 0 và y > 0.
 b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = 
 Trong đó a và b là các số thực khác không.
Câu 5. Cho tam giác vuông ABC (góc A = 900), đường cao AH, có cạnh AB = 2 cm, đoạn HC = 3 cm. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ tam giác đều ABD.
Tính diện tích tam giác ABC.
Chứng minh: CD 2 = AC 2 + BC 2