Đề thi olympic các môn văn hóa lớp 6, 7, 8 - Năm học 2015 - 2016 đề thi môn: Toán 8

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ỨNG HÒA
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
KỲ THI OLYMPIC CÁC MÔN VĂN HÓA
LỚP 6, 7, 8 - NĂM HỌC 2015-2016
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 8
 (Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4,0 điểm)
 Cho biểu thức: 
 a) Rút gọn biểu thức A. 
 b) Tìm giá trị của biểu thức A với x = 0,25 và y = 2015.
 c) Với giá trị nào của x thì biểu thức A rút gọn không xác định.
Câu 2. (4,0 điểm)
 a) Cho n là số nguyên không chia hết cho 3. Chứng minh rằng 
 P = 32n + 3n + 1 chia hết cho 13.
 b) Xác định a, b để đa thức x4 – 9x3 + 21x2 + ax + b chia hết cho đa thức x2- x -2.
Câu 3. (4,0 điểm)
 a) Biết a – 2b = 5 tính giá trị biểu thức B = .
 b) Cho x, y, z là các số khác không. Chứng minh rằng:
Nếu thì .
Câu 4. (7,0 điểm)
 Cho hình vuông ABCD. Kéo dài các cạnh BC (về phía C) và CD (về phía D) một đoạn BM = DN. Dựng hình bình hành AMFN. Chứng minh:
 a) Tứ giác AMFN là hình vuông.
 b) F thuộc phân giác của góc NCM.
 c) AC vuông góc với CF.
 d) B, D, O thẳng hàng (O là trung điểm của FA)
Câu 5. (1,0 điểm)
 Trong tam giác ABC, lấy điểm X nằm trên cạnh BC sao cho BC = 3.XB, lấy điểm Y nằm trên cạnh AC sao cho AC = 3.CY, lấy điểm Z nằm trên cạnh AB sao cho AB = 3.AZ. Giả sử tam giác ABC có diện tích bằng 1 đơn vị. Tính diện tích tam giác XYZ.
Họ và tên thí sinh: SBD:
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ỨNG HÒA
KỲ THI OLYMPIC CÁC MÔN VĂN HÓA
LỚP 6, 7, 8 - NĂM HỌC 2015-2016
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 8
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(4,0 đ)
 a. Rút gọn biểu thức A(2,5đ). 
 Điều kiện xác định : .
Hd: Biến đổi sai từ bước nào không chấm bước đó; nhầm dấu bước nào mà kết quả vẫn đúng trừ điểm bước đó; dùng dấu tương đương thay cho dấu bằng, thanh ngang phân thức không kẻ trừ 0,5đ. Làm gộp biến đổi kết quả đúng vẫn chấm điểm thành phần.
b. Tìm giá trị của biểu thức A với x = 0,25 và y =2015.
Thay x = 0,25 và y =2015 vào biểu thức A= ta được A = -2 	
c. Với giá trị nào của x thì biểu thức A rút gọn không xác định.
Để biểu thức A không xác định thì x 0
0,5đ
0,5 đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,75đ
0,75đ
Câu 2
(4,0 đ)
a/ (2 đ)
 Theo giả thiết vì n không chia hết cho 3 nên có dạng n=3k+1 và n=3k +2.
+ Nếu n = 3k + 1 thì 
 P = 32(3k+1) + 3(3k+1) + 1 = (33k+1)2 + 33k+1 + 1 = 9.272k + 3.27k +1
Vì 27 chia cho 13 dư 1 nên 27k và 272k chia cho 13 dư 1 hay 9.272k và 3.27k chia cho 13 thì dư 9 và 3. Khi đó P chia cho 13 sẽ có số dư là 13.
 Vậy P = 32(3k+1) + 3(3k+1) + 1 chia hết cho 13
+ Nếu n = 3k + 2 chứng minh tương tự P = 32(3k+1) + 3(3k+1) + 1 chia hết cho 13
b. Xác định a, b để đa thức x4 – 9x3 + 21x2 + ax + b chia hết cho đa thức x2 – x – 2. (2 đ)
Phân tích đa thức: x2 – x – 2 = (x+1)(x - 2) 
Lập luận theo đề bài đa thức P(x) = x4 – 9x3 + 21x2 + ax + b chia hết cho 
x2 – x – 2 thì phải chia hết cho đa thức (x + 1) và (x - 2)
Từ đó P(x) có hai nghiệm -1 và 2.
Thay vào và giải ta được a = 1; b = -30
0,5đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 3
(4,0 đ)
a. Biết a – 2b = 5 tính giá trị biểu thức 
B = .
1,0đ
1,0đ
b. Cho x, y, z là các số khác không. Chứng minh rằng:
Nếu thì .
Ta có xy + yz + zx = 0 Khi đó chứng minh được:
x3y3 + y3z3 + z3x3 = 3x2y2z2 mà x + y + z = 0 suy ra x3 + y3 + z3 = 3xyz
từ đó
0,5 đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 4
 (7,0 đ)
A
B
C
D
M
N
F
O
H’
H
a/ (2 đ)
- Vẽ hình đúng đến câu a 
- Chứng minh hai tam giác vuông 
Suy ra và AM = AN. Ta có:
Chứng minh tứ giác AMFN là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau và có 1 góc vuông là hình vuông.
b/ (2đ)
 Kẻ FH BM và FH’CN. 
 Ta có HMF = MAB (góc có cạnh tương ứng )
 FND = DAN (góc có cạnh tương ứng ), 
 mà BAM = DAN (cmt) nên:
 HMF = FND (1)
 vì có (1) và FM = FN (cmt) => FH = FH’, nghĩa là F cách đều các cạnh của góc MCN, do đó F thuộc phân giác của góc này
c/ (1,5 đ)
CF là đường phân giác của MCN nênFCN = 450 
vì AC là đường chéo hình vuông ANCD nên CAN = 450. 
Từ đó ACF = 900 hay AC CF
d/ (1,5đ)
Tứ giác AMFN là hình vuông nên O cũng là trung điểm MN. Chứng minh được: => O cách đều A và C.
BD là đường chéo của hình vuông ABCD nên cũng cách đều A và C. 
Vậy 3 điểm B, D, O thẳng hàng vì cùng thuộc trung trực AC.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 5
 (1,0 đ)
A
B
C
Z
Y
X
Nối CZ, dễ thấy: 
Từ đó Chứng minh tương tự: và 
Từ đó 
1,0đ
Ghi chú: Bài giải bằng cách khác vận dụng kiến thức đã được học, hợp logic và trình bày hợp lý vẫn cho điểm tối đa.