Đề thi minh họa tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2017-2018 - Sở GD & ĐT Thành phố Hồ Chí Minh (Có đáp án)

ĐỀ SỐ 1: ĐỀ MINH HỌA SỐ 1, SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM, NĂM 2017-2018
Câu 1: 
Giải phương trình: 
Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 40m và chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Tính diện tích của miếng đất
Câu 2: 
Vẽ đồ thị (P) của hàm số 
Tìm m để (P) cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ x = 1 
Câu 3: 
Thu gọn biểu thức: 
Giá bán một chiếc Tivi giảm giá hai lần, mỗi lần giảm 10% so với giá đang bán, sau khi giảm giá 2 lần đó thì giá còn lại là 16.200.000 đồng. Vậy giá bán ban đầu của Tivi là bao nhiêu? 
Câu 4: Cho phương trình: (1) (x là ẩn số)
Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m
Định m để hai nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn: 
Câu 5: Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại D, E. Gọi H là giao điểm của BD và CE; F là giao điểm của AH và BC
Chứng minh: AF BC và 
Gọi M là trung điểm của AH. Chứng minh: MD OD và 5 điểm M, D, O, F, E cùng thuộc một đường tròn 
Gọi K là giao điểm của AH và DE. Chứng minh: và K là trực tâm của tam giác MBC
Chứng minh: 
BÀI GIẢI
Câu 1: 
Giải phương trình: (1)
Giải:
	Ta có 
	Do nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: 
	Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là: 
Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 40m và chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Tính diện tích của miếng đất
Giải:
	Gọi x (m) là chiều dài và y (m) là chiều rộng của hình chữ nhật (x > y > 0)
	Theo đề bài, ta có hệ phương trình: 
	 (thỏa)
	Diện tích của miếng đất là: 
Câu 2: 
Vẽ đồ thị (P) của hàm số 
Giải:
Bảng giá trị
x
0
2
4
0
	Đồ thị 
Tìm m để (P) cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ x = 1 
Giải:
	Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) có dạng: 
	Do (D) cắt (P) tại điểm có hoành độ x = 1 nên thỏa: 
	Vậy là giá trị cần tìm 
Câu 3: 
Thu gọn biểu thức: 
Giải:
	Ta có 
	(vì ) 
Giá bán một chiếc Tivi giảm giá hai lần, mỗi lần giảm 10% so với giá đang bán, sau khi giảm giá 2 lần đó thì giá còn lại là 16.200.000 đồng. Vậy giá bán ban đầu của Tivi là bao nhiêu? 
Giải:
	Gọi x (đồng) là giá bán ban đầu của Tivi (x > 0)
	Giá bán được giảm lần thứ nhất là: (đồng)
	Giá bán được giảm lần thứ hai là: (đồng)
	Theo đề bài, ta có phương trình: (nhận)
	Vậy giá bán ban đầu là của Tivi là: 20.000.000 (đồng) 
Câu 4: Cho phương trình: (1) (x là ẩn số)
Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m
Giải:
	Ta có 
	 (vì ) 
	Do nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m 
Định m để hai nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn: 
Giải:
	Theo câu a, với mọi m thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 thỏa hệ thức Vi-ét:
	Ta có: 	 
	 (do hệ thức Vi-ét)
	Ta có nên phương trình (*) có 2 nghiệm: 
	Vậy là các giá trị cần tìm 
Câu 5: Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại D, E. Gọi H là giao điểm của BD và CE; F là giao điểm của AH và BC
Chứng minh: AF BC và 
Giải:
	Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
	 BD AC, CF AB 
	Xét ∆ABC có: BD và CE là 2 đường cao cắt nhau tại H 
	 H là trực tâm của ∆ABC
	 AH BC tại F 
	Xét tứ giác HFCD có: 
	 (vì AH BC, BD AC)
	 Tứ giác HFCD nội tiếp (tổng 2 góc đối bằng 1800) 
	 (cùng chắn cung HD) 
Gọi M là trung điểm của AH. Chứng minh: MD OD và 5 điểm M, D, O, F, E cùng thuộc một đường tròn 
Giải:
	Ta có ∆ADH vuông tại D và có DM là trung tuyến 
	 MD = MA = MH (1) 
	Ta có ∆AEH vuông tại E và có EM là trung tuyến 
	 ME = MA = MH (2) 
	Từ (1) và (2) MD = ME (3) 
	Xét ∆OEM và ∆ODM có: 
	OE = OD = R 
	ME = MD (do (3))
	OM: chung 
	 ∆OEM = ∆ODM (c.c.c) 
	 (2 góc tương ứng)
	 (4) 
	Ta có (5) (hệ quả góc nội tiếp)
	Ta có (6) (cùng chắn cung HD của tứ giác HFCD nội tiếp)
	Từ (4), (5) và (6) 
	 Tứ giác MFOD nội tiếp (7) (tứ giác có 2 đỉnh O, F cùng nhìn cạnh MD dưới một góc bằng nhau)
	 (tổng 2 góc đối của tứ giác MFOD nội tiếp)
	 (vì AF BC) 
	 MD DO 
	Xét tứ giác MEOD có: 
	 (vì ∆MEO = MDO: cmt)
	 Tứ giác MEOD nội tiếp (8) (tổng 2 góc đối bằng 1800) 
	Từ (7) và (8) 5 điểm M, E, F, O, D cùng thuộc đường tròn (MOD) 	 
Gọi K là giao điểm của AH và DE. Chứng minh: và K là trực tâm của tam giác MBC
Giải:
	Gọi I là giao điểm thứ hai của MC và đường tròn (O)
	Ta có (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
	Hay 
	 (cùng chắn cung HD của tứ giác HFCD nội tiếp) 
	 (9) 
	Xét ∆MDK và ∆MFD có: 
	: chung 
	 (do (9))
	 ∆MDK ∽ ∆MFD (g.g)
	 (10)
	Ta có (11) (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) 
	Xét ∆MDI và ∆MCD có: 
	: chung	 
	 (do (11)) 
	 ∆MDI ∽ ∆MCD (g.g) 
	(12)
	Từ (10) và (12) MI.MC = MK.MF = MD2 
	 (13) 
	Xét ∆MKI và ∆MCF có: 
	: chung
	 (do (13))
	 ∆MKI ∽ ∆MCF (c.g.c)
	 (2 góc tương ứng) 
	 KI MC (14) 	
	Mà (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
	 BI MC (15)
	Từ (14) và (15) 3 điểm B, K, I thẳng hàng 
	 BK MC 
	Mà MK BC nên K là trực tâm ∆MBC 	 
Chứng minh: 
Giải:
	Ta có 
	 (16) (vì MA = MH)
	Ta có 	
	 (do trên) 
	 (17) (vì MD = MA)
	Từ (16) và (17) FA.FH = FK.FM