PHềNG GD&ĐT Đề thi khảo sát hsg lớp 8 Môn : Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày:./ Câu1: (5điểm) 1.Chứng minh rằng:(a+b+c)3 - (a3+b3+c3) chia hết cho 24 nếu a, b, c cùng tính chẵn lẻ. 2.So sánh :với Câu 2: (3điểm) Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác và a+b+c = 2. Chứng minh : a2+b2+c2+2abc < 2. Câu 3: (4điểm) Tìm x, y, z Z+ thỏa mãn các phương trình sau: 1/ xy - 4x = 35 - 5y 2/ x + y + z = xyz Câu 4: (4điểm) 1/ Biết : 4x - 3y = 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 2x2 + 5y2 2/ Cho a + b = 1. Chứng minh : Câu 5: (4điểm) Trên đường chéo BD của hình vuông ABCD lấy điểm M. Từ M kẻ đường thảng ME vuông góc với AB; MF vông góc với AD (E). Chứng minh : Các đường thẳng BF, CM và DE đồng quy. Hết. đáp án Câu 1: 1. Biến đổi: B= (a+b+c)3 -(a3+b3+c3)=3(a+b)(b+c)(c+a)3 * a,b,c chẵn thi a+b; b+c ;c+a đều là các số chẵn nên B8 * a,b,c lẻ thì a+b; b+c; c+a đều là các số chẵn nên B8 Mà (3;8)=1B 2: Ta có: = A==< Câu 3: 1/ Biến đổi phương trình về dạng (x+5)(y-4)=15 xét các trường hợp và loại ta có các cặp (x,y) cần tìm là (10;5); (0;7) 2/ Không mất tính tổng quát ta giả sử 0<x Suy ra : xyz=x+y+z (*) Nếu x=y=z Không thỏa mãn suy ra ít nhất hai trong ba số không bằng nhau. Từ (*)hoặc xy=2. Nếu xy=1(vì x,y) (vô lí ). Nếu xy=2(vì x<y) Khi đó :2z=z+3 Vây bộ (1;2;3) là cần tìm và các hoán vị của nó. Câu 4: 1/Có x= khi đó M== Vậy Mmin =5 khi y= 2/Có a=1-b Vế trái : = Suy ra ddpcm Câu 5: Goi giao điểm của EM và DC; FM và BC ; BF và DE lần lượt là E/ ; F/ và O Ta có các hình chũ nhật MEAF và ME/CF/ bằng nhau (1). Mặt khác hình chữ nhật AE E/D bằng hình chữ nhật CF/FD. Tương tự có: FBlà trực tâm tam giác CEF(2).Từ (1)và(2) C,M,O thẳng hàng, hay DE,CM,BF đồng quy. Câu2: a+b+c=2 mà a,b,c là các cạnh của tam giác nên a,b,c >0a<1,b<1,c<1 (1-a) (1-b)(1-c)>01-(a+b+c)+ab+ac+bc-abc>0 -1+ -1+ 1Hay: a2+b2+c2+2abc<2.
Tài liệu đính kèm: