Đề thi HSG lớp 9 – Quận Tân Phú - Vòng 2 (2015-2016) môn Toán

Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 
Trang 1 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận Tân Phú, VÒNG 2 (15-16) 
Thời gian: 150 phút 
Bài 1: Cho xyz =1. Chứng minh rằng: 
1 1 1
1
1 x xy 1 y yz 1 z xz
  
     
Bài 2: Giải phương trình: 
a)   2 2x 9 9x 1 20x 1    
b) 
2x
4 9x
1 x
 

Bài 3: Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện: a b 1  . Tìm GTNN của biểu thức: 
1 9
P a b
a b
    
Bài 4: Cho ABC cân tại A nội tiếp (O). Vẽ 2 đường cao BD và CE của ABC . Vẽ Cx tiếp tuyến tại C 
của (O), vẽ AH vuơng gĩc với Cx tại H. Chứng minh: D,E, H thẳng hàng. 
Bài 5: Cho ABC cĩ 0ABC 30 . Về phía ngồi ABC dựng ACD đều. Chứng minh: 
2 2 2
AB BC BD  . 
Bài 6: Cho 2 hình chữ nhật cĩ kích thước 1 × 15 và 2 × 20 như hình vẻ tạo thành 1 gĩc 030 . Đặt hai cây 
thước lên mặt bàn. Tính diện tích phần mặt bàn bị che khuất. 
  HẾT  
 ĐỀ THI HSG LỚP 9 – 
QUẬN TÂN PHÚ - Vịng 2 (2015-2016) 
Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 
Trang 2 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận Tân Phú, VÒNG 2 (15-16) 
Bài 1: Cho xyz =1. Chứng minh rằng: 
1 1 1
1
1 x xy 1 y yz 1 z xz
  
     
Do xyz =1 nên ta cĩ : 
 
1 1 1 yz 1 y
1 x xy 1 y yz 1 z xz yz xyz y xyz 1 y yz y zy xyz
yz 1 y
 =
yz 1 y 1 y yz y zy 1
 =1
    
           
 
     
Bài 2: Giải phương trình: 
a)   2 2x 9 9x 1 20x 1    
    x 3 x 3 3x 1 3x 1 20x 1         2 23x 10x 3 3x 10x 3 20x 1       
 
2
2 2
3x 3 100x 20x 1           
2 2
2 2 2
3x 3 10x 1 0 3x 10x 4 3x 10x 2 0           
2 2
5 13 5 19
x x 0
3 9 3 9
      
           
         
5 13
x
3 3
5 19
x
3 3

  


 

Vậy 
5 13 5 19
S ;
3 3 3 3
  
    
  
b) 
2x
4 9x
1 x
 

    
   
       
          
2
2
49x 4 0
x2x 2x
94 9x 9x 4 2x
1 x 1 x 9x 4
2x 81x 72x 16 1 x
1 x
Hướng Dẫn Giải: 
 ĐỀ THI HSG LỚP 9 – 
QUẬN TÂN PHÚ vịng 2 (2015-2016) 
Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 
Trang 3 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận Tân Phú, VÒNG 2 (15-16) 
     



        
      
               

 

2 2
4
x
9
8 8
4 4 x x
x x
9 9
9 9
1 2
x81x 72x 16 1 x 2x 9x 8 9x 9x 2 0 x
3 3
2
x
3
Vậy 
 
  
 
8 2
S ;
9 3
Bài 3: Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện: a b 1  . Tìm GTNN của biểu thức: 
1 9
P a b
a b
    
Ta cĩ: 
   
   
 
  
           
  
2
2 2
b a b 9a a b1 9 16 16ab
ab b 9a 9ab 16ab b 3a 0
a b a b ab a b ab a b
(bđt đúng) 
Do đĩ:                    
  
1 9 16 1 9 16 16
a b a b P 16 a b 15 a b
a b a b a b a b a b
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta cĩ: 
               
  
16 16 16
16 a b 2 16 a b 6 a b 32 1
a b a b a b
 Ta cĩ:          a b 1 15 a b 15 2 
Từ (1) và (2), cộng vế theo vế, ta cĩ: P 17 . 
Vậy 
min
P 17 . Dấu “=” xảy ra khi  
1
a b
2
Bài 4: Cho ABC cân tại A nội tiếp (O). Vẽ 2 đường cao BD và CE của ABC . Vẽ Cx tiếp tuyến tại C 
của (O), vẽ AH vuơng gĩc với Cx tại H. Chứng minh: D, E, H thẳng hàng. 
x
HO
E
D
B C
A
Ta cĩ: 
 
 
 




AEH ACH tư ù giác AECH nội tiếp
ACH ABC góc tại bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp khi cùng chắn AC
     AEH ABC mà ABC ACB ABCcân tai A nên AEH ACB 
Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 
Trang 4 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận Tân Phú, VÒNG 2 (15-16) 
Mặt khác: AED ACB(tứ giác BEDC nội tiếp) 
Nên  AEH AED tia EH trùng tia ED  D, E, H thẳng hàng. 
Bài 5: Cho ABC cĩ 0ABC 30 . Về phía ngồi ABC dựng ACD đều. Chứng minh: 
2 2 2
AB BC BD  . 
x
K
D
B C
A
Trên nửa mặt phẳng bờ BC, về phía cĩ chứa điểm A, vẽ tia Bx  BC tại B. Trên tia Bx lấy điểm K sao cho 
BK = BA. 
Ta cĩ: 0 0 0ABC ABK CBK 30 ABK 90 ABK 60       
Mà BAK cân tại B (do BK = BA) nên BAK đều 0BAK 60  . 
Ta cĩ: 
 0
BAD BAC CAD
KAC BAC BAD BAD KAC
CAD BAD 60
  


   

 
Xét ACK và ADB , ta cĩ: 
 
 
 
 
AC AD ...
AK AB ... ACK ADB c g c CK BD
KAC BAD cmt
 


       


. 
Xét BKC vuơng tại B, ta cĩ: 2 2 2BK BC CK  (định lí Pitago) 
Mà BK AB (cách vẽ) và CK = BD (cmt) 
Nên 2 2 2AB BC BD  . 
Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016 
Trang 5 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận Tân Phú, VÒNG 2 (15-16) 
Bài 6: Cho 2 hình chữ nhật cĩ kích thước 1 × 15 và 2 × 20 như hình vẻ tạo thành 1 gĩc 030 . Đặt hai cây 
thước lên mặt bàn. Tính diện tích phần mặt bàn bị che khuất. 
300
2*20
1*15
N
H C
D
A
B
Gọi A, B, C, D như hình vẽ. Vẽ BN AD tại N. 
Xét NAB vuơng tại N, ta cĩ: 0
BN 2 1 2
sinNAB sin30 AB 4
AB AB 2 AB
       
Vẽ AH DC tại H AH 1  
Do ABCD là hình bình hành nên 
ABCD
S AH.AB 1.4 4   (đvdt) 
Vậy diện tích cần tìm là:  21*15 2*20 4 51 cm   
  HẾT 