Đề thi HSG lớp 9 Quận 5 – vòng 1 (2015-2016) môn Toán

Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Vòng 1 – Quận 5 2015 -2016 
Trang 1 
Ngày: 3/10/2015 
Thời gian: 120 phút 
Bài 1: (2 điểm) 
a) Rút gọn biểu thức: 
16 8 3 16 8 3 2 3 2 3
A .
4 2 3 4 2 3 2 3 2 3
     
 
     
b) Cho x, y, z là ba số dương và xy + yz +zx =1. Rút gọn biểu thức: 
 
        2 2 2 2 2 2
2 2 2
x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1
B 2 x y z
z 1 x 1 y 1
     
     
  
Bài 2: (2 điểm) 
a) Cho ba số a, b, c 1;2   . Chứng minh:  
1 1 1
a b c 10
a b c
 
     
 
. 
b) Giải phương trình: 
x 3x 2 3 2
3x 2 x 2

 

. 
Bài 3: (2 điểm) 
a) Tìm x, y N thỏa: x x x y   . 
b) Cho 1 2
1 2
x x m
x .x 1
   


 với m 2 hoặc m 2   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
4 4
1 2
6
P
x x



. 
 Dấu bằng xảy ra khi m bằng bao nhiêu? 
Bài 4: (1,5 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. 
1) Giả sử diện tích tam giác AOD bằng 216 cm , diện tích tam giác BOC bằng 225cm . Tìm 
diện tích tam giác AOB và diện tích tam giác COD để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất. 
2) Giả sử diện tích các tam giác AOB, BOC, COD, DOA là các số nguyên. Chứng minh tích 
các số đo diện tích của các tam giác đó là một số chính phương. 
Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC đều cạnh a, trên BC lấy điểm D sao cho 
a
BD
3
 . Đường 
trung trực của đoạn thẳng AD lần lượt cắt các cạnh AB, AC tại E và F. Tính độ dài ba cạnh của 
tam giác DEF theo a. 
Bài 6: (1 điểm) Lãi suất tiết kiệm của một ngân hàng như sau: 
Kỳ hạn (tháng) 6 7 8 9 10 11 12 
Lãi tháng (%/năm) 6.16 6.20 6.24 6.28 6.32 6.35 6.49 
Lãi quý (%/năm) 6.17 6.32 6.62 
Lãi cuối kỳ (%/năm) 6.25 6.31 6.37 6.43 6.49 6.55 6.80 
Không kỳ hạn (%/năm) 1.0 
ĐỀ THI HSG LỚP 9 
QUẬN 5 – Vòng 1 (2015-2016) 
Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Vòng 1 – Quận 5 2015 -2016 
Trang 2 
 Lãi suất 
(%năm)
:360 x (tổngsố ngày kỳ hạnlãi)x(số tiềngửi)
100
 . 
 Lãi không nhập vào vốn (nếu chưa lãnh lãi thì số tiền lãi không nhập vào tiền gửi). 
 Rút vốn trước kỳ hạn: Lãi được tính không kỳ hạn. 
Mẹ của An gửi vào ngân hàng trên số tiền 100.000.000 đồng. Em hãy tính số tiền mẹ của An nhận 
được (làm tròn đến nghìn đồng) trong mỗi trường hợp sau: 
a) Giả sử mẹ của An gửi số tiền trên ngày 1/10/2015 với kỳ hạn 12 tháng, rút lãi hàng tháng. Đến 
ngày 1/3/2016 mới rút lãi 1 lần thì số tiền mẹ của An rút được bao nhiêu? (Trình bày lời giải) 
b) Giả sử mẹ của bạn An gửi số tiền trên ngày 1/10/2015 với kỳ hạn 9 tháng, lãnh lãi hàng quý. 
Mẹ của An lãnh lãi đủ từng kỳ, đến ngày 1/5/2016 mẹ của An rút hết cả tiền gửi và tiền lãi thì số 
tiền nhận được bao nhiêu? (Trình bày lời giải) 
  HẾT  
Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Vòng 1 – Quận 5 2015 -2016 
Trang 3 
Thời gian: 120 phút 
Bài 1: (2 điểm) 
a) Rút gọn biểu thức: 
16 8 3 16 8 3 2 3 2 3
A .
4 2 3 4 2 3 2 3 2 3
     
 
     
2 3 2 2 3 2 4 2 3 4 2 3
A
3 1 3 1 4 2 3 4 2 3
     
 
     
4 3 3 1 3 1
2 3 3 3
2 3 1 3 1
  
    
  
b) Cho x, y, z là ba số dương và xy + yz +zx =1. Rút gọn biểu thức: 
 
        2 2 2 2 2 2
2 2 2
x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1
B 2 x y z
z 1 x 1 y 1
     
     
  
Ta có: 
2 2
xy yz zx 1 x xy yz zx x 1             2x x y z x y x 1      
  2x 1 x y x z     
Cmtt: 
  
  
2
2
y 1 x y y z
z 1 x z y z
    

   
Khi đó: 
 
    
  
    
  
    
  
x y x z x y y z
B 2 x y z
x z y z
x y y z x z y z x z y z x y x z
x y x z x y y z
   
   
 
       
 
   
       
2 2 2
B 2 x y z x y y z x z          
    B 2 x y z 2 x y z vì x, y, z > 0       B 0  
Vậy B 0 
Bài 2: (2 điểm) 
a) Cho ba số a, b, c 1;2   . Chứng minh:  
1 1 1
a b c 10
a b c
 
     
 
. 
Vì vai trò a, b, c là như nhau nên không mất tính tổng quát, ta giả sử 1 a b c 2    
Ta có: 
 
 
1 1 1 a a b b c c
a b c 1 1 1
a b c b c a c a b
a b b c a c
= 3 + + 1 
b a c b c a
 
             
 
   
Hướng Dẫn: ĐỀ THI HSG LỚP 9 
QUẬN 5 – Vòng 1 (2015-2016) 
Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Vòng 1 – Quận 5 2015 -2016 
Trang 4 
Vì 
a b a b
1; 1 1 0;1 0
b c b c
1 a b c 2
b c b c
1; 1 1 0;1 0
a b a b
 
       
      
      
  
 
a b b a a a b a
1 1 0 1 0 1
b c c b c b c c
c b c b c ab c
1 0 11 1 0
b a a a b ca b
a b b c a a
2 2
b a c b c c
                    
    
                   
      
(Lưu ý: bắt cặp nhân sao cho xuất hiện được đầy đủ: 
a b b c a c
; ; ; ; ;
b a c b c a
 ) 
Từ (1) và (2)     
1 1 1 a c
a b c 5 2 3
a b c c a
   
         
   
Mặt khác: 
c c
a 1 2a 2 c 2 2 0
a a
a a
c 1 2c 2 a 2 2 0
c c

        

         

 
c a a c a c 5
2 2 0 4 2 2 1 0 4
a c c a c a 2
  
             
  
Từ (3) và (4)  
1 1 1 5
a b c 5 2 10
a b c 2
   
           
   
b) Giải phương trình: 
x 3x 2 3 2
3x 2 x 2

 

. 
Điều kiện: 
2
x
3
x 0




x 3x 2 9
2
3x 2 x 2

   

 
 
2
2
x 3x 2 5
2x 3x 2
 
 

 
2 2
x 9x 12x 4 5
2x 3x 2
  
 

2 2 2
2x 18x 24x 8 15x 10x      25x 14x 8 0    
 
 
4
x nhận
5
x 2 nhận


 

 Vậy 
4
S 2;
5
 
  
 
Bài 3: (2 điểm) 
a) Tìm x, y N thỏa: x x x y   . 
Ta có: x x x y   2 2x x x y x x y x        
Đặt:  2y x a a N   . Khi đó:  2x x a *  
Mà x N thì x là số tự nhiên hoặc là số vô tỉ. 
Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Vòng 1 – Quận 5 2015 -2016 
Trang 5 
Nên từ (*) thì x là số tự nhiên. 
Đặt:  x m m N  
Khi đó: 
2 2 2
m m m m 2m 1      
2
2 2
m a m 1    2 2a m  . Mà 2 2a m m  
Nên 
2 2
m m m m 0    
x 0
y 0
 
 

 thử lại thấy đúng. 
Vậy    x;y 0;0 
b) Cho 1 2
1 2
x x m
x .x 1
   


 với m 2 hoặc m 2   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
4 4
1 2
6
P
x x



. 
Dấu bằng xảy ra khi m bằng bao nhiêu? 
Ta có: 
4 4
1 2
6
P
x x


    
2 2
22 2 2 2
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
6 6
x x 2x x x x 2x x 2x x
 
 
     
  
     
2
2 2
6
P
m 2 1 2 1


   
  
 
2
2
6
m 2 2


 
Ta có:  
2
2 2 2
m 2
m 4 m 2 2 m 2 4
m 4
 
       
 
  
 
2
2
2
2
1 1
m 2 2 2
2
m 2 2
     
 
 
2
2
6
3 P 3
m 2 2

     
 
Dấu “=” xảy ra khi m 2 hay m 2  
Vậy GTNN của P là 3 khi m 2 hay m 2  
Bài 4: (1,5 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. 
1) Giả sử diện tích tam giác AOD bằng 216 cm , diện tích tam giác BOC bằng 225cm . Tìm diện 
tích tam giác AOB và diện tích tam giác COD để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất. 
H
K
O
D C
A
B
Ta có: 
Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Vòng 1 – Quận 5 2015 -2016 
Trang 6 
 
 
AOB
AOD
COB
COD
S OB
hai tam giác có cùng đường cao từ A
S OD
S OB
hai tam giác có cùng đường cao từ C
S OD




 


AOB COB
AOB COD COB AOD
AOD COD
S S
S .S S .S
S S
    
AOB COD
S .S 400  
Ta có: 
ABCD AOB COD COB AOD AOB COD
S S S S S S S 41       
Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, ta được: 
AOB COD AOB COD
S S 2 S .S 2 400 40    
AOB COD
S S 41 81    
ABCD
S 81  
Dấu “=” xảy ra khi  AOB COD 2AOB COD
AOB COD
S S
S S 20 cm
S S 40
 
  
 
Vậy 
ABCD
S đạt GTNN là 
2
81cm khi 
2
AOB COD
S S 20cm  
2) Giả sử diện tích các tam giác AOB, BOC, COD, DOA là các số nguyên. Chứng minh tích các 
số đo diện tích của các tam giác đó là một số chính phương. 
Ta có: 
 
AOB COD COB AOD
S .S S .S cma 
 
2
AOB COD COB AOD AOD COB
S .S .S .S S .S  : là Số Chính Phương vì 
AOD COB
S ,S là số nguyên. 
Vậy ta có điều phải chứng minh. 
Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC đều cạnh a, trên BC lấy điểm D sao cho 
a
BD
3
 . Đường 
trung trực của đoạn thẳng AD lần lượt cắt các cạnh AB, AC tại E và F. Tính độ dài ba cạnh của 
tam giác DEF theo a. 
AB = AC = BC = a
BD = 
a
3
DE = AE = x
DF = AF = y
H
K
I
F
E
A
B CD
Ta có: 
a 2a
BD CD
3 3
   
Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Vòng 1 – Quận 5 2015 -2016 
Trang 7 
Ta có:  
 
EDF EAF
DE AE tc đối xứng
DF AF tc đối xứng
 




 . Đặt 
0
EDF 60
DE AE x 0
DF AF y 0
 

  
   

Ta có: 
2 2 2
DE BE BD 2BE.BD.cosB   (định lý hàm Cos) 
 2 2 2 0AE BE BD BE.BD vì DE = AE;B 60     
   
2
2
2
a a
x a x a x
9 3
      2 2 2 2 2 2
7a
9x 9a 18ax 9x a 3a 3ax 15ax 7a x
15
           
7a
ED
15
  
Ta có:  2 2 2DF CD CF 2CD.CF.CosC Định lý hàm Cô-sin trong DFC    
   
2
2
2
4a 2a 1
y a y 2. a y .
9 3 2
      
2 2
2 2 2
4a 4a 2ay
y a 2ay y
9 3 3
       
2
7 4 7a
a ay 0 7a 12y 0 y
9 3 12
        
7a
FD
12
  
Ta có: 
2 2 2
EF ED DF 2ED.DF.CosEDF   (Định lý hàm Cô – sin trong DEF ) 
2 2
2
7a 7a 7a 7a 1
EF 2. . .
15 12 15 12 2
   
      
   
7a 21
EF
60
  
Vậy 
7a 7a 7a 21
DE ;DF ;EF
15 12 60
   
BỔ ĐỀ: (Định lý hàm Cô-sin) Cho ABC nhọn có 3 đường cao AH, BI cắt nhau tại O. Chứng 
minh: 
2 2 2 2BC AB AC AB.AC.CosA   
O
I
H
A
B
C
Chứng minh: 
2 2 2 2BC AB AC AB.AC.CosA   
Ta có: 
Ta dễ dàng chứng minh được: 
OH BH
BOH ACH OH.AH CH.BH
CH AH
     ∽ 
Ta có: 
2 2
AI AI
CosA (tslg) AB.AC.CosA .AB.AC AB.AC.CosA AI.AC
AB AB
    
Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Vòng 1 – Quận 5 2015 -2016 
Trang 8 
 
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
AB AH BH
AC AH HC
AB AC 2AH BH HC
AB AC 2AB.AC.CosA 2AH BH HC 2AI.AC
AB AC 2AB.AC.CosA 2AH BH HC 2AO.AH
AB AC 2AB.AC.CosA 2AH AH AO BH HC
AB AC 2AB.AC.CosA 2AH.HO BH HC
  

 
    
      
      
      
     
2 2 2 2
2 2 2
AB AC 2AB.AC.CosA 2BH.CH BH HC
AB AC 2AB.AC.CosA BC
     
   
Vậy 
2 2 2 2BC AB AC AB.AC.CosA   
Bài 6: (1 điểm) Lãi suất tiết kiệm của một ngân hàng như sau: 
Kỳ hạn (tháng) 6 7 8 9 10 11 12 
Lãi tháng (%/năm) 6.16 6.20 6.24 6.28 6.32 6.35 6.49 
Lãi quý (%/năm) 6.17 6.32 6.62 
Lãi cuối kỳ (%/năm) 6.25 6.31 6.37 6.43 6.49 6.55 6.80 
Không kỳ hạn (%/năm) 1.0 
 Lãi suất 
(%năm)
:360 x (tổngsố ngày kỳ hạnlãi)x(số tiềngửi)
100
 . 
 Lãi không nhập vào vốn (nếu chưa lãnh lãi thì số tiền lãi không nhập vào tiền gửi). 
 Rút vốn trước kỳ hạn: Lãi được tính không kỳ hạn. 
Mẹ của An gửi vào ngân hàng trên số tiền 100.000.000 đồng. Em hãy tính số tiền mẹ của An nhận 
được (làm tròn đến nghìn đồng) trong mỗi trường hợp sau: 
a) Giả sử mẹ của An gửi số tiền trên ngày 1/10/2015 với kỳ hạn 12 tháng, rút lãi hàng tháng. Đến 
ngày 1/3/2016 mới rút lãi 1 lần thì số tiền mẹ của An rút được bao nhiêu? (Trình bày lời giải) 
 Tổng số ngày từ 1/10/2015 đến 1/3/2016:  31 30 31 31 29 152 ngày     (do năm 2016 là năm 
nhuận nên tháng 2 có 29 ngày) 
 Số tiền mẹ An rút được là: 
6,49
:360*152*100.000.000 2.740.000(đồng)
100
 
b) Giả sử mẹ của bạn An gửi số tiền trên ngày 1/10/2015 với kỳ hạn 9 tháng, lãnh lãi hàng quý. 
Mẹ của An lãnh lãi đủ từng kỳ, đến ngày 1/5/2016 mẹ của An rút hết cả tiền gửi và tiền lãi thì số 
tiền nhận được bao nhiêu? (Trình bày lời giải) 
Từ 1/10/2015 đến 1//2016 được 7 tháng, do mẹ An đã lãnh lãi đủ từng kỳ nên đã nhận được 2 
quý và còn 1 tháng. 
Đến ngày 1/5/2016 thì mẹ An rút hết tiền nên số tiền lãi nhận được trong 30 ngày với lãi suất 
1% (vì lãnh trước kỳ hạn) là: 
1
:360*30*100.000.000 83.000(đồng)
100
 
Vậy số tiền mẹ An nhận cả tiền gửi là lãi là: 100.000.000 83.000 100.083.000(đồng)  
  HẾT 