Đề thi học sinh năng khiếu năm học 2010 – 2011 môn Toán lớp 8

PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THỦY
ĐỀ THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2010 – 2011
Đề chớnh thức
MễN TOÁN LỚP 8
Đề thi cú : 01 trang.
(Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 6 điểm): 
	Cho biểu thức : (với x 0, 2)
 a) Rút gọn A. 
 b) Tính giá trị của biểu thức A tại x thoả mãn: 2x2 + x = 0
 c) Tìm x để A= 
 d) Tìm x nguyên để A nguyên dương.
Câu 2 ( 4 điểm):
 a)Chứng minh đẳng thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
 b) Cho a,b,c là ba số thoả mãn điều kiện a+b+c=1 và a3+b3+c3=1.
 Chứng minh rằng: a2011+b2011+c2011=1.
Câu 3 ( 4 điểm):
 a) Chứng minh "m, n, p, q ta đều có m+ n+ p+ q+1³ m(n+p+q+1) 
 b) Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn .
Câu 4 ( 6 điểm):
	Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
 a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và 
 b) Cho và . Tớnh SEBC?
 c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD + CM.CA cú giỏ trị khụng đổi.
 d) Kẻ. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh .
Hết
Họ và tên học sinh:......................................................., số báo danh:...................
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THỦY
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2010 – 2011
MễN TOÁN LỚP 8
Câu 1 ( 6 điểm): Cho biểu thức : với x 0, 2
 a) Rút gọn A. 
 b) Tính giá trị của biểu thức A tại x thoả mãn: 2x2 + x = 0
 c) Tìm x để A= 
 d) Tìm x nguyên để A nguyên dương.
Đáp án
Thang điểm
a) = ... = 
2đ
b) 2x2 + x = 0 x(2x + 1) = 0 x= 0(Không thỏa mãn ĐK)
 hoặc x = 
Với x = thì A = 
1đ
0,5đ
c) Để A = hay = x +2 = -8 x = -10
1đ
d) Để A nguyên dương thì x+2 là ước âm của 4, khi đó: 
 x + 2 = -1 x= -3 khi đó A = 4
 x + 2 = -2 x = -4 khi đó A = 2
 x + 2 = -4 x = -6 khi đó A = 1
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 2 ( 4 điểm):
a)Chứng minh đẳng thức : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
b) Cho a,b,c là ba số thoả mãn điều kiện a+b+c=1 và a3+b3+c3=1.
 Chứng minh rằng: a2011+b2011+c2011=1.
Đáp án
Thang điểm
a) Ta có: (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b + c)3 - a3] - (b3 + c3)
 = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] - (b + c)(b2 - bc + c2)
 = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]
 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
 Vậy (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b) Do a3+b3+c3=1 và a+b+c=1 ta có. a3+b3+c3 = (a+b+c)3
 3(a+b)(b+c)(c+a)=0 ( theo phần a)
 a=-b hoặc b=-c hoặc c=-a 
 Nếu a=-b ta có a2011+ b2011+ c2011 = a2011 - a2011+ c2011 = c2011= 1 
 Tương tự ta cũng có kết luận như trên 
 Vậy a2011 + b2011 + c2011 = 1
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 3 ( 4 điểm):
a) Chứng minh "m, n, p, q ta đều có 
 m+ n+ p+ q+1³ m(n+p+q+1)
b) Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn .
Đáp án
Thang điểm
 a) m+ n+ p+ q+1³ m(n+p+q+1)
 (luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi 
1đ
0,5đ
0,5đ
 b) 
 x, y nguyên dương do vậy x + 5, 3y + 1 nguyên dương và lớn hơn 1. 
 Thoả mãn yêu cầu bài toán khi x + 5, 3y + 1 là ước lớn hơn 1 của 49 nên có: 
Vậy phương trình có nghiệm nguyên là x = y = 2.
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
 0,25đ
Câu 4 ( 6 điểm):
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
 a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và 
 b) Cho và . Tớnh SEBC?
 c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD + CM.CA cú giỏ trị khụng đổi.
 d) Kẻ. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh .
Đáp án
Thang điểm
a)* Chứng minh EA.EB = ED.EC	
- Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg)	
- Từ đó suy ra 	
* Chứng minh 	
- Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc)	
- Suy ra 	
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b) Từ = 120o = 60o = 30o	
- Xét EDB vuông tại D có = 30o
	 ED = EB 	
- Lý luận cho từ đó SECB = 144 cm2	
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
c)- Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 
 - Chứng minh CM.CA = CI.BC	
 - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi	 
Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
d)- Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 	
- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Ghi chú: 
	- Nếu học sinh giải theo cách khác đáp án mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
- Trong quá trình chấm bài giám khảo vận dụng linh hoạt đáp án, nghiên cứu kỹ bài làm của học sinh. Cần thống nhất chia điểm nhỏ tới 0,25 điểm.