Đề thi học sinh giỏi văn hóa khối 9 môn: Toán

Phòng GD- ĐT Thạnh Hóa	
 Trường THCS 	ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA KHỐI 9
MÔN: Toán
	Thời gian: 150 phút
Câu 1: ( 4đ)
	Cho biểu thức P = 
Tìm điều kiện xác định của P.
Rút gọn P.
Tính giá trị của P với x = .
Tìm giá trị lớn nhất của a khi P > a.
Câu 2( 5đ)
 Cho hình chữ nhật ABCD. Đường phân giác của góc B cắt đường chéo AC thành hai đoạn và . Tính các kích thước hình chữ nhật .
Câu 3: ( 5đ)
	Bài 1: ( 2đ)
	a) Giải phương trình sau: 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
	A = 
	Bài 2: ( 3đ)	
 Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B rồi quay ngay về A với vận tốc riêng không đổi hết tất cả 2 giờ 15 phút. Khi ca nô khởi hành từ A thì cùng lúc đó, một khúc gỗ cũng trôi tự do từ A theo dòng nước và gặp ca nô trên đường trở về tại một điểm cách A là 8km. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước.
Câu 4: ( 3đ )
Cho (0;R) và điểm M cố định không nằm trên đường tròn . Qua M vẽ một cát tuyến cắt đường tròn tại A và B . Chứng minh rằng tích MA.MB không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến 
Câu 5: ( 3đ )
Chứng minh rằng: 
Tìm các số nguyên x để là một số chính phương chẵn.
ĐÁP ÁN
Câu 1:
ĐKXĐ: x > 0 , x 1	0,25đ
P = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 	(1.5 đ) mỗi bước 0.25 đ
P = 	mỗi bước 0,25đ	(1 đ)
P = 0,25đ
Mà 	0,25đ
Nên P 
 dấu “ =” xảy ra 	0,25đ
Nhưng x = 1 không thoã mãn ĐKXĐ. Vậy P > 1 	0,25đ
Suy ra giá trị lớn nhất của a để P > a là a = 1.	0,25đ
 B	C	
 E
Câu 2:( 5đ)
 A	D
 ( 1 đ)
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABC có :
 (1đ) 
(1đ)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau suy ra (1 đ)
 Mà AC= AE+ EB = + = 10 (0,5 đ)
Vậy BC= , AB= (0,5đ)
 Kích thước hình chữ nhật là 6m,8m 
Câu 3: ( 5đ)
	Bài 1: ( 2đ)
	a)	
	Vế trái 
	Vế trái 
	Dấu “ = ” xảy ra Mỗi ý 0,25đ
Ta có 
	 Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là 3. Mỗi ý 0,25đ
Bài 2: ( 3đ)
	Gọi vận tốc riêng của ca nô là x km/h.
	Gọi vận tốc dòng nước là y km/h.( x > y > 0 )	
	Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là x + y ( km/h)
	Vận tốc ca nô khi ngược dòng là x – y ( km/h) 	0,25đ
Theo đề ta có hệ phương trình: 
	1đ ( mỗi phương trình 0,5đ)
	0,5đ
Giải hệ này ta được thỏa mãn điều kiện của ẩn	1đ ( chia nhỏ 0,25đ)
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 36 km/h, vận tốc dòng nước là 4 km/h. 0,25đ
 C
 M
 0
 B
Câu 4: ( 3đ )
 (0,5 đ)
 A 
 D
* Trường hợp 1 M nằm trong đường tròn 
 Vẽ đường kính CD đi qua M , 0 nằm giữa M và D 
 và có : BAD = BCD = ½ sđ BD
 (0,5đ) CBA = CDA = ½ sđ AC 
suy ra (g-g) (0,5 đ)
vậy MA.MB không đổi 
 * Trường hợp 2 M nằm ngoài đường tròn
 0 
(0,5đ)
 M C D
 A
 B
Kẻ cát tuyến MCD qua O , giả sử 0 nằm giữa Mvà D 
 Xét hai tam giác MCB và MAD có 
 A DM = CBM 
 M chung (0,5 đ)
 Vậy MA.MB không đổi (0,5 đ)
 Từ 2 trường hợp trên ta thấy MA.MB= / / không đổi . Do đó MA. MB không phụ thuộc vào vị trí của M 
 (* mỗi trường hợp đạt 1,5 đ)
Câu 5: ( 3đ )
( 1đ) 
Bình phương hai vế ta được: 
Bước đầu 0,5đ, hai bước sau mỗi bước 0,25đ
Đặt 	0,25đ
	0,25đ
	0,25đ
 ( vì nN )	0,25đ
 	Với n = 0 phương trình vô nghiệm.	0,25đ
	Với n = 1 ta được x1= 13; x2 = – 15	0,25đ
	Với n = 2 ta được x3 = 1 ; x4 = – 3	0,25đ
	Vậy 	0,25đ