PHÒNG GD – ĐT TP. THỦ DẦU MỘT KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS GIẢI THƯỞNG LƯƠNG THẾ VINH NĂM HỌC: 2012-2013 MÔN TOÁN: LỚP 8 Thời gian làm bài : 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Ngày thi : 30/3/2013 Bài 1: (3d) Phân tích đa thức thành nhân tử: (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 Cho a,b,c thoả mãn: Tính A = a4 + b4 + c4 Bài 2: (3đ) Cho x,y,z thoả mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + xz Cho Phương trình: . Tìm m để phương trình có nghiệm dương. Cho a,b,c có tổng bằng 1 (a,b,c > 0). Chứng minh rằng : Bài 3(2đ) Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn DB, DC lần lượt lấy điểm E và F sao cho . Chứng minh rằng . Bài 4(2đ) Cho tam giác ABC, các điểm D và M di động trên AB sao cho AD = BM. Qua M vẽ các đường thẳng song song BC cắt AC lần lượt tại E và N. Chứng minh rằng : tổng DE + MN không đổi. ------------Hết------------ Giải Bài 1: (3d) Cho a,b,c thoả mãn: Tính A = a4 + b4 + c4 Cách 1: Ta có: a+b+c=0 Þ a+b = -c Þ (a+b)2 – 2ab = c2 Þ (a+b)2 – c2 = 2ab Þ (a+b+c)(a+b-c) = 2ab Þ 0 = 2ab Þ a=0 hoặc b=0 Nếu a=0 Þ b = -c và b2 + c2 = 2009 Þ b2 + b2 = 2009 Þ 2b2 = 2009 Þ b= và c = - Do đó: A = a4 + b4 + c4 = (1) Nếu b=0 Þ a = -c và a2 + c2 = 2009 Þ a2 + a2 = 2009 Þ 2a2 = 2009 Þ a= và c = - Do đó: A = a4 + b4 + c4 = (2) Từ (1) và (2) Þ A = a4 + b4 + c4 Cách 2: Ta có: a2 + b2 + c2 = 2009 Û (a2 + b2 + c2 )2 = 20092 Û a4 +b4 +c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 = 20092 Û a4 +b4 +c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2 ) = 20092 Û a4 +b4 +c4 = 20092 - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2 ) (1) Ta có: a2 + b2 + c2 = 2009 Û (a+b+c)2 - 2ab - 2ac - 2bc = 2009 Û ab+ac+bc ( do a+b+c = 0) Û (ab+ac+bc )2 Û a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2a2bc + 2b2ac + 2c2ab Û a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a+b+c) Û a2b2 + b2c2 + c2a2 ( do a+b+c = 0) (1) Þ a4 +b4 +c4 = 20092 -2. Û a4 +b4 +c4 Bài 2: (3đ) Cho x,y,z thoả mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + xz Cách 1: Ta có: (x-y)2 ≥ 0 với mọi x,y Î R Tương tự : (y-z)2 ≥ 0 , (z-x)2 ≥ 0 với mọi x,y,z Î R Cộng từng vế 3 bất đẳng thức ta được: x2 – 2xy + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2zx + x2 ≥ 0 Û 2(x2 + y2 + z2 ) - 2(xy+yz+xy) ≥ 0 Û (x2 + y2 + z2 ) - (xy+yz+xy) ≥ 0 Û (xy+yz+xy) ≤ (x2 + y2 + z2 ) Û 3(xy+yz+xy) ≤ (x2 + y2 + z2 ) + 2(xy+yz+xy) 3(xy+yz+xy) ≤ (x + y + z)2 = 9 Û (xy+yz+xy) ≤ 3 Vậy B = 3 thì đạt giá trị lớn nhất Dấu “=” xảy ra khi x=y=x =1 Cách 2: Ta có: B = xy + yz + xz và x + y + z = 3 B = xy + z(x+y) = xy + [3-(x+y)](x+y) =xy + 3(x+y) – (x+y)2 = -x2 – y2 – xy + 3x + 3y = Dấu “=” xảy ra khi Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 khi x=y=z=1 Cho Phương trình: . Tìm m để phương trình có nghiệm dương. Đk: x ≠ ± 2 Ta được: (2x-m)(x+2) + (x-1)(x-2) = 3(x-2)(x+2) Û 2x2 + 4x – mx – 2m + x2 – 3x + 2 = 3x2 – 12 Û (1-m)x = 2m – 14 Û Đề phương trình có nghiệm dương x > 0 khi (1) +Với Đk x ≠ 2 Û ≠ 2 Û m ≠ 4 (2) Từ (1), (2) Vậy 1< m < 7 và m ≠ 4 thì phương trình trên có nghiệm dương .
Tài liệu đính kèm: