Đề thi học sinh giỏi Toán khối lớp 7

[Toán nâng cao lớp 6] ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 
0902-11-00-33 
Facebook.com/THCS.Tieuhoc 
 hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học 
Trang | 1 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 
ĐỀ SỐ 1 
Bài 1. (4 điểm) 
a) Chứng minh rằng 76 + 75 - 74 chia hết cho 55 
b) Tính A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 
Bài 2. (4 điểm) 
a) Tìm các số a, b, c biết rằng : và a + 2b - 3c = -20 
b) Có 16 tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ. Trị giá mỗi loại tiền trên 
đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ? 
Bài 3. (4 điểm) 
a) Cho hai đa thức f(x) = x5 - 3x2 + 7x4 - 9x3 + x2 - x 
 g(x) = 5x4 - x5 + x2 - 2x3 + 3x2 - 
 Tính f(x) + g(x) và f(x) - g(x). 
b) Tính giá trị của đa thức sau: 
 A = x2 + x4 + x6 + x8 + + x100 tại x = -1. 
Bài 4. (4 điểm) 
Cho tam giác ABC có góc A bằng 900, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE 
= BA. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. 
a) So sánh các độ dài DA và DE. 
b) Tính số đo góc BED. 
Bài 5. (4 điểm) 
 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Kẻ đờng trung tuyến BE cắt AD 
ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GA, GB. Chứng minh rằng: 
a) IK// DE, IK = DE. 
b) AG = AD. 
2 3 4
a b c
 
1
4
1
4
2
3
[Toán nâng cao lớp 6] ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 
0902-11-00-33 
Facebook.com/THCS.Tieuhoc 
 hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học 
Trang | 2 
ĐỀ SỐ 2 
Bài 1: (3 điểm): Tính 
Bài 2: (4 điểm): Cho chứng minh rằng: 
a) b) 
Bài 3:(4 điểm) Tìm biết: 
a) b) 
Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu 
vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ 
tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật 
chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây. 
Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D 
nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: 
a) Tia AD là phân giác của góc BAC 
b) AM = BC 
Bài 6: (2 điểm): Tìm x,y Z biết: 
ĐỀ SỐ 3 
1 1 2 2 3
18 (0,06 : 7 3 .0,38) : 19 2 .4
6 2 5 3 4
   
    
   
a c
c b

2 2
2 2
a c a
b c b



2 2
2 2
b a b a
a c a
 


x
1
4 2
5
x    
15 3 6 1
12 7 5 2
x x   
0A 20
2 225 8( 2009)y x  
[Toán nâng cao lớp 6] ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 
0902-11-00-33 
Facebook.com/THCS.Tieuhoc 
 hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học 
Trang | 3 
Bài 1:(4 điểm) 
a) Thực hiện phép tính: 
b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 
chia hết cho 10 
Bài 2:(4 điểm) 
Tìm x biết: 
a. 
b. 
Bài 3: (4 điểm) 
a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng các bình 
phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. 
b) Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 4: (4 điểm) 
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm 
E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: 
a) AC = EB và AC // BE 
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . 
Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng 
c) Từ E kẻ . Biết = 50o ; =25o . 
Tính và 
Bài 5: (4 điểm) 
Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam 
giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: 
c) Tia AD là phân giác của góc BAC 
d) AM = BC 
   
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3 9 32 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
A
125.7 5 .142 .3 8 .3
 
 

2 23 2 3 2n n n n   
 
1 4 2
3,2
3 5 5
x     
   
1 11
7 7 0
x x
x x
 
   
2 3 1
: :
5 4 6
a c
c b

2 2
2 2
a c a
b c b



EH BC  H BC HBE MEB
HEM BME
0A 20
[Toán nâng cao lớp 6] ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 
0902-11-00-33 
Facebook.com/THCS.Tieuhoc 
 hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học 
Trang | 4 
ĐỀ SỐ 4 
Bài 1: (2 điểm) 
 Cho A = 2-5+8-11+14-17++98-101 
 a, Viết dạng tổng quát dạng thứ n của A 
 b, Tính A 
Bài 2: ( 3 điểm) 
 Tìm x,y,z trong các trường hợp sau: 
 a, 2x = 3y =5z và =5 
 b, 5x = 2y, 2x = 3z và xy = 90. 
 c, 
Bài 3: ( 1 điểm) 
1. Cho và (a1+a2++a9 ≠0) 
 Chứng minh: a1 = a2 = a3== a9 
 2. Cho tỉ lệ thức: và b ≠ 0 
 Chứng minh c = 0 
Bài 4: ( 2 điểm) 
 Cho 5 số nguyên a1, a2, a3, a4, a5. Gọi b1, b2, b3, b4, b5 là hoán vị của 5 số đã 
cho. 
 Chứng minh rằng tích (a1-b1).(a2-b2).(a3-b3).(a4-b4).(a5-b5) 2 
Bài 5: ( 2 điểm) 
 Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của đoạn thẳng đó. Trên hai nửa 
mặt phẳng đối nhau qua AB, kẻ hai tia Ax và By song song với nhau. Trên tia Ax 
lấy hai điểm D và F sao cho AC = BD và AE = BF. 
 Chứng minh rằng : ED = CF. 
2x y
1 2 3 1y z x z x y
x y z x y z
     
  
 
3 8 91 2
2 3 4 9 1
...
a a aa a
a a a a a
    
a b c a b c
a b c a b c
   

   
[Toán nâng cao lớp 6] ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 
0902-11-00-33 
Facebook.com/THCS.Tieuhoc 
 hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học 
Trang | 5 
ĐỀ SỐ 5 
Bài 1: (3 điểm) 
1. Thực hiện phép tính: 
2. Tìm các giá trị của x và y thoả mãn: 
3. Tìm các số a, b sao cho là bình phương của số tự nhiên. 
Bài 2: ( 2 điểm) 
1. Tìm x,y,z biết: và x-2y+3z = -10 
2. Cho bốn số a,b,c,d khác 0 và thoả mãn: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3 ≠ 0 
Chứng minh rằng: 
Bài 3: ( 2 điểm) 
1. Chứng minh rằng: 
2. Tìm x,y để C = -18- đạt giá trị lớn nhất. 
Bài 4: ( 3 điểm) 
 Cho tam giác ABC vuông cân tại A có trung tuyến AM. E là điểm thuộc 
cạnh BC. 
 Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H, K thuộc AE). 
 1, Chứng minh: BH = AK 
 2, Cho biết MHK là tam giác gì? Tại sao? 
=== Hết=== 
ĐỀ SỐ 6 
1
4,5 : 47,375 26 18.0,75 .2,4 : 0,88
3
2 5
17,81:1,37 23 :1
3 6
  
   
  

 
2007 2008
2 27 3 10 0x y   
2007ab
1 2 3
2 3 4
x y z  
 
3 3 3
3 3 3
a b c a
b c d d
 

 
1 1 1 1
... 10
1 2 3 100
    
2 6 3 9x y  
[Toán nâng cao lớp 6] ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 
0902-11-00-33 
Facebook.com/THCS.Tieuhoc 
 hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học 
Trang | 6 
Câu 1: Tìm các số a,b,c biết rằng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b 
Câu 2: Tìm số nguyên x thoả mãn: 
 a,5x-3 4 c, 4- x +2x =3 
Câu3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =x +8 -x 
Câu 4: Biết rằng :12+22+33+...+102= 385. Tính tổng : S= 22+ 42+...+202 
Câu 5 : 
Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM, BI 
cắt cạnh AC tại D. 
 a. Chứng minh AC=3 AD 
 b. Chứng minh ID =1/4BD 
------------------------------------------------- Hết ------------------------------------------ 
ĐỀ SỐ 7 
Thời gian làm bài: 120 phút 
[Toán nâng cao lớp 6] ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 
0902-11-00-33 
Facebook.com/THCS.Tieuhoc 
 hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học 
Trang | 7 
Câu 1 . ( 2đ) Cho: . Chứng minh: 
d
a
dcb
cba








3
. 
Câu 2. (1đ). Tìm A biết rằng: A = 
ac
b
ba
c
cb
a





. 
Câu 3. (2đ). Tìm để A Z và tìm giá trị đó. 
 a). A = . b). A = . 
Câu 4. (2đ). Tìm x, biết: 
 a) = 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 
650 
Câu 5. (3đ). Cho  ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM . E  BC, BH 
AE, CK  AE, (H,K  AE). Chứng minh  MHK vuông cân. 
-------------------------------- Hết ------------------------------------ 
ĐỀ SỐ 8 
Thời gian làm bài : 120 phút. 
d
c
c
b
b
a

Zx
2
3


x
x
3
21


x
x
3x
[Toán nâng cao lớp 6] ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 
0902-11-00-33 
Facebook.com/THCS.Tieuhoc 
 hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học 
Trang | 8 
Câu 1 : ( 3 điểm). 
 1. Ba đường cao của tam giác ABC có độ dài là 4,12 ,a . Biết rằng a là một 
số tự nhiên. Tìm a ? 
 2. Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức 
d
c
b
a
 ( a,b,c ,d 0, ab, cd) ta suy ra 
được các tỉ lệ thức: 
 a) . b) . 
Câu 2: ( 1 điểm). Tìm số nguyên x sao cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) 
< 0. 
Câu 3: (2 điểm). 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của: A =  x-a +  x-b + x-c +  x-d với 
a<b<c<d. 
Câu 4: ( 2 điểm). Cho hình vẽ. 
 a, Biết Ax // Cy. so sánh góc ABC với góc A+ góc C. 
 b, góc ABC = góc A + góc C. Chứng minh Ax // Cy. 
Câu 5: (2 điểm) 
 Từ điểm O tùy ý trong tam giác ABC, kẻ OM, ON , OP lần lượt vuông góc với 
các cạnh BC, CA, Ab. Chứng minh rằng: 
AN2 + BP2 + CM2 = AP
2 + BM2 + CN2 
---------------------------------------------- Hết ------------------------------------------ 
ĐỀ SỐ 9 
Thời gian làm bài: 120 phút 
dc
c
ba
a


 d
dc
b
ba 


A 
C 
B 
x 
y 
[Toán nâng cao lớp 6] ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 
0902-11-00-33 
Facebook.com/THCS.Tieuhoc 
 hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học 
Trang | 9 
Câu 1(2đ): 
 a) Tính: A = 1 + 
 b) Tìm n Z sao cho : 2n - 3 n + 1 
Câu 2 (2đ): 
 a) Tìm x biết: 3x - = 2 
 b) Tìm x, y, z biết: 3(x-1) = 2(y-2), 4(y-2) = 3(z-3) và 2x+3y-z = 50. 
Câu 3(2đ): Ba phân số có tổng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5, các 
mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2. Tìm ba phân số đó. 
Câu 4(3đ): Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối 
của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh 
ba điểm B, I, C thẳng hàng. 
Câu 5(1đ): Tìm x, y thuộc Z biết: 2x + = 
---------------------------------------------------Hết----------------------------------------- 
ĐỀ SỐ 10 
Thời gian làm bài: 120’. 
Câu 1: Tính : 
3 4 5 100
3 4 5 100
...
2 2 2 2
   

2 1x 
213
70
1
7
1
y
[Toán nâng cao lớp 6] ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 
0902-11-00-33 
Facebook.com/THCS.Tieuhoc 
 hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học 
Trang | 10 
 a) A = . 
 b) B = 1+ 
Câu 2: 
 a) So sánh: và . 
 b) Chứng minh rằng: . 
Câu 3: 
 Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 
1:2:3 
Câu 4 
 Cho tam giác ABC có góc B và góc C nhỏ hơn 900 . Vẽ ra phía ngoài tam giác 
ấy các tam giác vuông cân ABD và ACE ( trong đó góc ABD và góc ACE đều 
bằng 900 ), vẽ DI và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. Chứng minh rằng: 
 a. BI=CK; EK = HC; b. BC = DI + EK. 
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 12001  xx 
------------------------------------------ hết --------------------------------------------- 
 ĐỀ SỐ 11 
Thời gian làm bài: 120 phút 
Câu 1: (1,5 đ) Tìm x biết: 
100.99
1
....
4.3
1
3.2
1
2.1
1

)20...321(
20
1
....)4321(
4
1
)321(
3
1
)21(
2
1

12617  99
10
100
1
....
3
1
2
1
1
1

[Toán nâng cao lớp 6] ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 
0902-11-00-33 
Facebook.com/THCS.Tieuhoc 
 hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học 
Trang | 11 
 a, + + + + =0 
 b, 
Câu2:(3 điểm) 
 a, Tính tổng: 
 b, CMR: 
 c, Chứng minh rằng mọi số nguyên dương n thì: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hết 
cho 10 
Câu3: (2 điểm) Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2;3;4. Hỏi ba chiều 
cao tương ứng ba cạnh đó tỉ lệ với số nào? 
Câu 4: (2,5điểm) Cho tam giác ABC có góc hai đường phân giác AP và 
CQ của tam giác cắt nhau tại I. 
 a, Tính góc AIC 
 b, CM : IP = IQ 
Câu5: (1 điểm) Cho . Tìm số nguyên n để B có giá trị lớn nhất. 
------------------------------------------ hết ----------------------------------------- 
ĐỀ SỐ 12 
Thời gian : 120’ 
Câu 1 : (3đ) Tìm số hữu tỉ x, biết : 
 a) = - 243 . 
327
2x
326
3x
325
4x
324
5x
5
349x
35 x 7
2007210
7
1
........
7
1
7
1
7
1
























S
1
!100
99
........
!4
3
!3
2
!2
1

060B
3)1(2
1
2 

n
B
 51x
[Toán nâng cao lớp 6] ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 
0902-11-00-33 
Facebook.com/THCS.Tieuhoc 
 hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học 
Trang | 12 
 b) 
 c) x - 2 = 0 (x ) 
Câu 2 : (3đ) 
 a, Tìm số nguyên x và y biết : 
 b, Tìm số nguyên x để A có giá trị là 1 số nguyên biết : A = (x
) 
Câu 3 : (1đ) Tìm x biết : 2. - 2x = 14 
Câu 4 : (3đ) 
 a, Cho ABC có các góc A, B , C tỉ lệ với 7; 5; 3 . Các góc ngoài tương 
ứng tỉ lệ với các số nào . 
 b, Cho ABC cân tại A và Â < 900 . Kẻ BD vuông góc với AC . Trên cạnh 
AB lấy điểm E sao cho : AE = AD . Chứng minh : 
 1) DE // BC 
 2) CE vuông góc với AB 
-----------------------------------Hết-------------------------------- 
ĐỀ SỐ 13 
Thời gian làm bài: 120 phút 
Bài1( 3 điểm) 
15
2
14
2
13
2
12
2
11
2 







 xxxxx
x 0
8
1
4
5

y
x
3
1


x
x
0
35 x


[Toán nâng cao lớp 6] ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 
0902-11-00-33 
Facebook.com/THCS.Tieuhoc 
 hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học 
Trang | 13 
 a, Tính: A = 
 b, Tính nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + 4 +7 ++ 100 – 410) 
Bài 2: ( 2điểm). Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng các nghịch đảo của chúng 
bằng 2. 
Bài 3: (2 điểm). Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang một cuốn sách dày 234 
trang. 
Bài 4: ( 3 điểm) Cho ABC vuông tại B, đường cao BE Tìm số đo các góc nhọn 
của tam giác , biết EC – EA = AB. 
-------------------------------------------- hết ------------------------------------------- 
ĐỀ SỐ 14 
Thời gian làm bài 120 phút 
1
11
60
).25,091
5
(
)75,1
3
10
(
11
12
)
7
176
3
1
26(
3
1
10



[Toán nâng cao lớp 6] ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 
0902-11-00-33 
Facebook.com/THCS.Tieuhoc 
 hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học 
Trang | 14 
Bài 1(2 điểm). Cho 
 a.Viết biểu thức A dưới dạng không có dấu giá trị tuyệt đối. 
 b.Tìm giá trị nhỏ nhất của A. 
Bài 2 ( 2 điểm) 
 a.Chứng minh rằng : . 
 b.Tìm số nguyên a để : 
2 9 5 17 3
3 3 3
a a a
a a a
 
 
  
 là số nguyên. 
Bài 3(2,5 điểm). Tìm n là số tự nhiên để : 
Bài 4(2 điểm) Cho góc xOy cố định. Trên tia Ox lấy M, Oy lấy N sao cho OM 
+ ON = m không đổi. Chứng minh : Đường trung trực của MN đi qua một điểm cố 
định. 
Bài 5(1,5 điểm). Tìm đa thức bậc hai sao cho : . 
 áp dụng tính tổng : S = 1 + 2 + 3 +  + n. 
------------------------------------ Hết -------------------------------- 
ĐỀ SỐ 15 
Thời gian làm bài: 120 phút 
Câu 1: (2đ) Rút gọn A=
2
2
8 20
x x
x x

 
5 2 .A x x   
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
.......
6 5 6 7 100 4
     
  5 6 6 .A n n n  
   1 .f x f x x  
[Toán nâng cao lớp 6] ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 
0902-11-00-33 
Facebook.com/THCS.Tieuhoc 
 hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học 
Trang | 15 
Câu 2 (2đ) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh 
lớp 7A trồng được 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng được 4 cây, Mỗi học sinh lớp 
7C trồng được 5 cây,. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. Biết rằng số cây mỗi lớp 
trồng được đều như nhau. 
Câu 3: (1,5đ) Chứng minh rằng 
200610 53
9

là một số tự nhiên. 
Câu 4 : (3đ) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az của góc đó . Từ một điểm 
B trên Ax vẽ đường thẳng song song với với Ay cắt Az tại C. vẽ Bh  Ay,CM 
Ay, BK  AC. Chứng minh rằng: 
 a, K là trung điểm của AC. 
 b, BH = 
 c, đều 
Câu 5 (1,5 đ) Trong một kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, 
Tây, Đông đoạt 4 giải 1,2,3,4 . Biết rằng mỗi câu trong 3 câu dưới đây đúng một 
nửa và sai 1 nửa: 
 a, Tây đạt giải 1, Bắc đạt giải 2. 
 b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải 3. 
 c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải 4. 
 Em hãy xác định thứ tự đúng của giải cho các bạn. 
--------------------------------- Hết -------------------------------------- 
ĐỀ SỐ 16 
Thời gian làm bài 120 phút 
Câu 1: (2đ) Tìm x, biết: 
 a) b) c) d) 
2
AC
ΔKMC
723  xx 532 x 713 x
73253  xx
[Toán nâng cao lớp 6] ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 
0902-11-00-33 
Facebook.com/THCS.Tieuhoc 
 hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học 
Trang | 16 
Câu 2: (2đ) 
 a) Tính tổng S = 1+52+ 54+...+ 5200 
 b) So sánh 230 + 330 + 430 và 3.2410 
Câu 3: (2đ) Cho tam giác ABC có góc B bằng 600. Hai tia phân giác AM và CN 
của tam giác ABC cắt nhau tại I. 
 a) Tính góc AIC 
 b) Chứng minh IM = IN 
Câu 4: (3đ) Cho M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và Ac của tam giác 
ABC. Các đường phân giác và phân giác ngoài của tam giác kẻ từ B cắt đường 
thẳng MN lần lượt tại D và E các tia AD và AE cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại 
P và Q. Chứng minh: 
 a) BD 
 b) B là trung điểm của PQ 
 c) AB = DE 
Câu 5: (1đ) Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức A= Có giá trị lớn 
nhất? Tìm giá trị đó. 
-------------------------------------- Hết ---------------------------------------- 
ĐỀ SỐ 17 
Câu 1: ( 1,5 điểm) Tìm x, biết: 
 a. 4 3x  - x = 15. b. 3 2x  - x > 1. c. 2 3x   5. 
Câu2: ( 2 điểm) 
;; AQBEAP 
x
x


4
14
[Toán nâng cao lớp 6] ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 
0902-11-00-33 
Facebook.com/THCS.Tieuhoc 
 hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học 
Trang | 17 
 a. Tính tổng: A= (- 7) + (-7)2 +  + (- 7)2006 + (- 7)2007. Chứng minh rằng: 
A chia hết cho 43. 
 b. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để m2 + m.n + n2 chia hết cho 9 là: 
m, n chia hết cho 3. 
Câu 3: ( 23,5 điểm) Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau như thế 
nào,biết nếu cộng lần lượt độ dài từng hai đường cao của tam giác đó thì các tổng 
này tỷ lệ theo 3:4:5. 
Câu 4: ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC cân tại A. D là một điểm nằm trong tam giác, 
biết 
> . Chứng minh rằng: DB < DC. 
Câu 5: ( 1 điểm ) Tìm GTLN của biểu thức: A = - . 
-------------------------------------- Hết --------------------------------- 
ĐỀ SỐ 18 
Câu 1 (2 điểm): Tìm x, biết : 
 a. +5x = 4x-10 b. 3+ > 13 
Câu 2: (3 điểm ) 
ADB ADC
1004x  1003x 
3x 2 2x 5 
[Toán nâng cao lớp 6] ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 
0902-11-00-33 
Facebook.com/THCS.Tieuhoc 
 hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học 
Trang | 18 
 a. Tìm một số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của 
nó tỷ lệ với 1, 2, 3. 
 b. Chứng minh rằng: Tổng A=7 +72+73+74+...+74n chia hết cho 400 (n
N). 
Câu 3 : (1điểm )cho hình vẽ , biết + + = 1800 chứng minh Ax// By. 
 A x 
 C 
 B y
Câu 4 (3 điểm ) Cho tam giác cân ABC, có =1000. Kẻ phân giác trong của 
góc CAB cắt AB tại D. Chứng minh rằng: AD + DC =AB 
Câu 5 (1 điểm ) 
 Tính tổng. S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + .....+ (-3)2004. 
------------------------------------ Hết ---------------------------------- 
ĐỀ SỐ 19 
Thời gian làm bài: 120 phú 
Bài 1: (2,5đ) Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí: 

  



ABC
[Toán nâng cao lớp 6] ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 
0902-11-00-33 
Facebook.com/THCS.Tieuhoc 
 hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học 
Trang | 19 
Bài 2: (2,5đ) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 
Bài 3: (4đ) Cho tam giác ABC. Gọi H, G,O lần lượt là trực tâm , trọng tâm và 
giao điểm của 3 đường trung trực trong tam giác. Chứng minh rằng: 
 a. AH bằng 2 lần khoảng cách từ O đến BC 
 b. Ba điểm H,G,O thẳng hàng và GH = 2 GO 
Bài 4: (1 đ) Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc 
trong biểu thức (3-4x+x2)2006.(3+ 4x + x2)2007. 
------------------------------------------- Hết ------------------------------------------ 
ĐỀ SỐ 20 
Thời gian làm bài: 120 phút 
Câu 1(3đ): Chứng minh rằng 
1 1 1 1 1 1 1 1 1
90 72 56 42 30 20 12 6 2
        
xx  52
[Toán nâng cao lớp 6] ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 
0902-11-00-33 
Facebook.com/THCS.Tieuhoc 
 hotro@thcs.hocmai.vn HOCMAI THCS & Tiểu Học 
Trang | 20 
 A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hết cho 102 
Câu 2(3đ): Tìm x, biết: 
 a. ; b. 
Câu 3(3đ): Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, 
AB. Các đường trung trực của tam giác gặp nhau tai 0. Các đường cao AD, BE, CF 
gặp nhau tại H. Gọi I, K, R theo thứ tự là trung điểm của HA, HB, HC. 
 a) C/m H0 và IM cắt nhau tại Q là trung điểm của mỗi đoạn. 
 b) C/m QI = QM = QD = 0A/2 
 c) Hãy suy ra các kết quả tương tự như kết quả ở câu b. 
Câu 4(1đ): Tìm giá trị của x để biểu thức A = 10 - 3|x-5| đạt giá trị lớn nhất. 
--------------------------------------------- Hết --------------------------------------------- 
ĐỀ SỐ 21 
Bài 1: (2đ) Cho biểu thức A = 
 a) Tính giá trị của A tại x = 
 x x 2 3   3x 5