Đề thi học sinh giỏi Toán 9 (thời gian 150 phút) năm học 2015 – 2016

Trường THCS ĐỖ ĐỘNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
TOÁN: 9 (Thời gian 150 phút)
Năm học 2015 – 2016
 Câu 1: (6 điểm)
Cho 
Rút gọn A
Tìm giá trị x khi 
Tính giá trị A khi 
Cho chứng minh rằng
 chia hết cho 14
Câu 2: (4 điểm)
Giải phương trình
Cho và 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 3: (4 điểm)
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn
Cho a, b, c > 0 chứng minh
Câu 4: (5 điểm)
Cho BC là 1 dây cung của (o) bán kính R (. Một điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tâm O luôn nằm trong . Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H.
a, Chứng minh đồng dạng với ?
b, Gọi A’ là trung điểm của BC. Chứng minh AH = 2 A’O?
c, A1 là trung điểm của EF. Chứng minh RAA1 = AA’ . OA’?
d, Tìm vị trí điểm A để chu vi có giá trị lớn nhất?
Câu 5: (1 điểm)
Hai đội cờ thi đấu với nhau mỗi đấu thủ của đội này phải đấu 1 ván với mỗi đấu thủ của đội kia. Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 4 lần tổng số đấu thủ của 2 dội và biết rằng số đấu thủ của ít nhất trong 2 đội là số lẻ. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ?
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Nội dung
Điểm
6 đ
1. 
a, Rút gọn A: 
b, Tìm x / A = 
c, Tính được 
2 điểm
1 điểm
1 điểm
2. 
A là số chẵn 
1 điểm
1 điểm
1.Giải phương trình
Đặt 
Ta có 
Từ hệ phương trình suy ra
Ta được 
 (Loại)
Vậy phương trình có 1 nghiệm 
2.
Áp dụng BĐT cô si
Min P = 13 x = 0
 y = 3
 z = 4
2 điểm
3
1.Tìm nghiệm nguyên
2.Áp dụng BĐT cô si
Tương tự 
Có 
Tương tự 
Từ (1)(2)
2 điểm
1điểm
1điểm
 Câu 4
(5 đ)
K
C
A
 E
C’ 
 A1 B’
F O 
 H 
D
 A
B
1. Cos , cos 
A chung
 (cgc)
0.5điểm
1 điểm
2.Kẻ đường kính AOK
 BHCK là hình bình hành
BK AB BK // CH 
CH AB 
Nên BC HK tại trung điểm mỗi đường.
Có A’ là trung điểm của BC.
A’ là trung điểm của HK.
Vậy 3 điểm H, A’, K thẳng hàng.
Xét AHK có O là trung điểm của AK.
 A’ là trung điểm của HK.
OA’ là đường trung bình => AH=ZOA’
0.5 điểm
1điểm
3. 4 điểm A, E, H, F 1 đường tròn đường kính AH.
 => Bán kính là AH = OA’ = r
 AEF ABC
 => = => R.AA1 = AA’. r
 R. AA1 = AA’. OA’
4. AEF ABC
 => = => R. EF = BC . OA’ = 2 SBOC
Chứng minh tương tự 
 BDF BAC
 => R. DF = AC . OB’ = 2SOAC
 CDE CAB
 => R. DE = OC’ . AB = 2SBOA
 SABC = SBOC  + SAOB + SAOC
 2 SABC = REF + R. OF + R. DE
=> 2 SABC = R. ( EF + DF . DE)
 2 SABC = R. Chu vi DEF
 AD. BC = R. Chu vi DEF
Chu vi DEF có giá trị lớn nhất ó AD lớn nhất.
( BC, R cố định)
AD lớn nhất ó A là trung điểm cung lớn AB.
1điểm
1điểm
1đ
5. Gọi x, y lần lượt là số đấu thủ
Có xy = 4 ( x+ y).
( x - 4) (y – 4 ) = 16 = 1.16 = 2. 8 = 4.4
x – 4 = 1 x = 5
y – 4 = 16 y = 20
x – 4 = 16 
 x = 20
y – 4 = 1 y = 5
1điểm
Người ra đề XÁC NHẬN CỦA BGH