Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm học 2014-2015 Trường THCS Cao Dương

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
Năm học 2014-2015.
Thời gian: 150 phút.
Bài 1. (6 điểm)
1.Cho biểu thức: A = 
với x.
 	a. Rút gọn A.
	b. Tìm x để A nguyên.
	2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta có a3 + 11a 6	
Bài 2. (4 điểm)
Giải phương trình:
	2. Cho các số dương x,y,z thoả mãn 
Tính giá trị của biểu thức P = x + y + z.
Bài 3. (3 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
 x2 + 2y2 + 3xy – x – y + 3 = 0.
Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn a + b + c 2015.Chứng minh rằng 
Bài 4. (6 điểm)
	Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn, M di động trên đường thẳng d, kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O,R), OM cắt AB tại I.
Chứng minh tích OI.OM không đổi.
Tìm vị trí của M để MAB đều.
Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua điểm cố định.
Bài 5(1điểm)
	Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
 (x + y)4 = 40y + 1.
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2014-2015.
Môn thi: Toán
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
(6 điểm)
a. 
A = 
 = ........= 
b. Vì x 0 
Đồng thời 
A
1
2
3
4
x
9(TM)
1(loại)
(TM)
0(TM)
Kết luận: x 
Ta có a3 + 11a = a3 – a + 12a = a.(a – 1).(a + 1) + 12a.
 Chứng minh a.(a – 1).(a + 1) 2
 a.(a – 1).(a + 1) 3
 a.(a – 1).(a + 1) 6
mà 12a 6 
 a.(a – 1).(a + 1) + 12a 
 Vậy a3 + 11a 6 
2đ
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5đ
1 đ
0,5đ
Bài 2
(4 điểm)
Bài 3
(3 điểm)
1. Điều kiện x 4
 Đặt (a > 0, b 
Ta có a + b = 2ab + a2 + b2 - 12 
 a + b - 4 = 0 (vì a > 0, b nên a + b + 3 > 0)
Kết luận x = 5
2. 
[(x + 1 )(y + 1)(z + 1)]2 = 476 
Vì x,y,z là các số dương nên (x + 1 )(y + 1)(z + 1) = 24
 x = y = 0,5; z = 5.
 P = x + y + z = 
1. Giải phương trình nghiệm nguyên.
 x2 + 2y2 + 3xy - x - y + 3 = 0.
....... (x + y)(x + 2y - 1) = - 3
Vì x,y nguyên nên x + y và x + 2y - 1 là các ước của - 3.
Ta có bảng sau:
x + y
1
-3
-1
3
x + 2y -1
-3
1
3
-1
x
4
-8
-6
6
y
-3
5
5
-3
Kết luận nghiệm (x; y) là (4; 3), (-8;5), (-6; 5), (4; -3).
2. Chứng minh 
Mà a > 0, b > 0 nên a + b > 0 và (a – b)2 0 
 (a – b)2(a + b) 0 (1) luôn đúng.
Chứng minh tương tự ta có:
Cộng từng vế của các bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3) ta được
Mà a + b + c Bất đẳng thức được chứng minh
0,25đ
0,75đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,75đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25 đ
0,25đ
0,25đ
Bài 4
(
d
)
K
I
H
O
M
A
B
Vẽ hình đúng đến câu a
a) Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O,R) 
 OBMB 
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: 
 MA = MB và MO là tia phân giác của góc AMB
 AMB cân tại M có OM là đường phân giác đồng thời là đường cao 
 OMAB 
 OMB vuông tại B có OI là đường cao
 OB2 = OI.OM
 OI.OM = R2 không đổi.
 b) AMB cân tại M (CMT)
Để AMB đều thì góc AMB = 600 góc BMO = 300
OBM vuông tại B có OB = 0,5 OM 
 OM = 2.OB = 2R
 Kết luận
Kẻ OH d, H d H cố định, OH cắt AB tại K.
 Chứng minh và đồng dạng
 ..... OH.OK = OI. OM = R2 không đổi
 Mà O, H cố định nên OH không đổi OK không đổi, K OH cố định
 K cố định
Kết luận
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1đ
0,5đ
1đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 5
(1điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
(x + y)4 = 40y + 1. (1)
Vì x nên (1) viết được dưới dạng:
Chứng minh được 
 2(x + y)2 < 
Suy ra 2(x + y)2 < 20 suy ra x + y 4
Đồng thời x + y là ước của 40y + 1 là số lẻ nên x + y lẻ
 x + y = 3
 40y + 1 = 34 = 81 y = 2 x = 1.
Vậy (x,y) = (1;2)
0,5đ
0,5đ
	Cao Dương, ngày 18 tháng 10 năm 2014
	Người duyệt đề Người ra đề
	Lê Thị Thuỷ
 	Xác nhận của nhà trường