Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm học 2013-2014

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎi TOÁN 9
Năm học 2013-2014.
Thời gian: 150 phút.
Bài 1. (5 điểm)
Cho biểu thức: P = 
 với x > 0; x 1.
	1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn P.
	2. Tính P khi x = .	
	3. Tìm x để P < .
Bài 2. (4 điểm)
	1. Cho x, y là 2 số thực dương thoả mãn:
	(x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = 0. 
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y + 1.
	2. Giải phương trình:
Bài 3. (4 điểm)
	1. Cho Tính giá trị biểu thức
	Q = .
	2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
	2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0.
Bài 4. (6 điểm)
	Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O, R). Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE tới đường tròn đó (B,C là 2 tiếp điểm, D nằm giữa A và E). Gọi H là giao điểm của AO và BC.
	1. Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn.
	2. Chứng minh AH.AO = AD.AE.
	3. Tiếp tuyến tại D của (O) cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Biết OA = 6cm; R = 3,6cm. Tính chu vi AMN.
	4. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB,AC lần lượt tại I và K. Chứng minh MI + NK IK.
Bài 5. (1 điểm)
	Cho x, y R, x0, y0. Chứng minh:
 	.
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2013-2014.
Môn thi: Toán
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1
(5 điểm)
1. 
P = 
 = ..... = 
2. Tĩnh x = ..... = 4
Thay x = 4 tính P = 7
3. P 0, x 1.
 	.... < 0
 Lập bảng xét dấu .... Kết luận < x < 4 và x 1.
2đ
0,5đ
1đ
1đ
0,5đ
Bài 2
(4 điểm)
Bài 3
(4 điểm)
1. (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = 0.
 ....x2 + y2 + 1 + 2xy + 2x + 2y + 5x + 5y + 5 + 4 = - y2
 (x + y +1)2 + 5(x + y +1) + 4 = - y2
 A2 + 5A + 4 = - y2
 Vì - y2 0 nên A2 + 5A + 4 0.
 (A + 1)(A + 4) 0
 	 -4.
Vậy maxA = -1, minA= -4.
2. ĐK 0 < x 4
 Đặt = a, = b a2 + b2 = 4. (a > 0, b > 0)
......... 
Vì a > 0, b > 0 2 + ab > 0 
a - b = a2 - 2ab - b2 = 2 2ab = 2 ab = 1
 (TM).
1. Ta có a + b + c vì nếu a + b + c = 0 thế vào giả thiết ta có
 (vô lí).
Khi a + b + c ta có
 + a + b + c = a + b + c
 = 0 Q = 0.
2. Giải phương trình nghiệm nguyên.
 2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0.
.........(2x + y + 1)(x + y + 1) = -1 
2x + y + 1 và x + y + 1 là các ước của -1
TH 1: 
TH 2: 
Kết luận (x,y) = (2; -4) hoặc (-2; 2)
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,75đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
Bài 4
1. Chứng minh OBAB, OCAC (theo tính chất tiếp tuyến)
 B và C cùng thuộc đường tròn đường kính OA
4 điểm A, B,O, C cùng thuộc một đường tròn.
2. Chứng minh OBAB 
 Chứng minh OABC tại H 
 AB2 = AH.AO (1)
 Chứng minh đồng dạng với 
 AB2 = AE.AD (2)
 Từ (1) và (2) AH.AO = AE.AD
3. Tính AB = 4,8cm
 Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra
 AB = AC, MD = MB, ND = NC 
 Chu vi AMN là: 
 AM + AN + MN = AM +AN + MD +DN
 = AM +AN + MB + NC
 = AB + AC = 2AB = 9,6cm.
4. Chứng minh IK//BC 
 Và AB = AC AI = AK 
 AIK cân tại A và OI = OK = 
 Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra: 
 Tứ giác MNKI có 
Đồng thời có: 
 đồng dạng với 
 .
 Áp dụng BĐT Cosi: 
1,25đ
0,75đ
0,75đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,75đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 5
(1điểm)
 (1)
 (2)
Đặt a = 
 a2 = 
BĐT (2) trở thành a2 - 3a + 20 (a - 2)(a + 1) 0.
Lập bảng xét dấu suy ra: 
Từ a nằm trong miền nghiệm của bất phương trình đã xét. Vậy a thoả mãn a2 - 3a + 20 
 (1) đúng
Vậy 
Lưu ý: HS làm cách khác đúng cho điểm tối đa
 Chứng minh hình phải có lập luận, căn cứ chặt chẽ mới cho điểm tối đa.
0,5đ
0,5đ
	Cao Dương, ngày 30 tháng 10 năm 2013
	Người duyệt đề Người ra đề
	Lê Thị Thuỷ
 	Xác nhận của nhà trường