Đề thi học sinh giỏi Toán 8 - Trường Đặng Trần Côn

Học Sinh Giỏi Lớp 8 – Cấp Trường – Quận Tân Phú 2014 -2015 
Trang 1 Cty CP GD Thăng Tiến Thăng Long 
Thời gian: 120 phút 
(NGÀY THI: 4/10/2014) 
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: 
a)     
2
2
2x y 3x 5 2x 7 2x 4xy 11x 9        
b)     n n n 5 n 5 5x 1 x 2 x x x 2014      
Bài 2: Cho biểu thức: 
1 1 1 1
A ...
1.2 2.3 3.4 2014.2015
     
a) Tính A. 
b) Chứng minh: 
2 2 2 2
1 1 1 1
B ... 1
2 3 4 2015
      
Bài 3: Chứng minh rằng: 
3 2
n 3n 2n  chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. 
Bài 4: Cho ABC có AM là đường trung tuyến. Trên cạnh AB lấy hai điểm D và E sao cho 
AD DE EB  . Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AC = 3AF. Gọi I là giao điểm của AM và CD. 
a) Chứng minh: 
1
DI CD
4
 
b) Chứng minh ba đường thẳng AM, CD, và BF đồng quy. 
Bài 5: Chứng minh rằng nếu a, b, c là số đo của ba cạnh một tam giác vuông, với a là độ dài cạnh 
huyền thì các số x 9a 4b 8c;y 4a b 4c;z 8a 4b 7c         cũng là số đo các cạnh của một tam 
giác vuông khác, 
Bài 6: Cho 12 số tự nhiên từ số 1 đến số 12. Có thể sắp xếp 12 số này trên một vòng tròn sao cho 
2 số kề nhau bất kì có tổng lớn hơn 12 hay không? Vì sao? 
  HẾT  
ĐỀ THI HSG LỚP 8 
Trường Đặng Trần Côn 
Học Sinh Giỏi Lớp 8 – Cấp Trường – Quận Tân Phú 2014 -2015 
Trang 2 Cty CP GD Thăng Tiến Thăng Long 
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: 
a)     
2
2
2x y 3x 5 2x 7 2x 4xy 11x 9        
    
 
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2x y 3x 5 2x 7 2x 4xy 11x 9
4x 4xy y 6x 21x 10x 35 2x 4xy 11x 9
4x 4xy y 6x 21x 10x 35 2x 4xy 11x 9
y 44
       
          
          
 
b)     n n n 5 n 5 5x 1 x 2 x x x 2014      
    n n n 5 n 5 5x 1 x 2 x x x 2014      
2n n n 2n n
x 2x x 2 x x 2014
2016
      
 
Bài 2: Cho biểu thức: 
1 1 1 1
A ...
1.2 2.3 3.4 2014.2015
     
a)Tính A. 
1 1 1 1
A ...
1.2 2.3 3.4 2014.2015
     
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2014
...
1 2 2 3 3 4 2014 2015 1 2015 2015
            
b) Chứng minh: 
2 2 2 2
1 1 1 1
B ... 1
2 3 4 2015
      
Ta có: 
2
2
2 2 2 2 2
2
1 1
1.22
1 1
2.33
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ...
3.4 1.2 2.3 3.4 2014.20154 2 3 4 2015
...............
1 1
2014.20152015







          



 



2014
B B 1
2015
    
Bài 3: Chứng minh rằng: 
3 2
n 3n 2n  chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. 
Ta có:      3 2 2n 3n 2n n n 3n 2 n 2 n 1 n        
Do   n 2 n 1 n  là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên có ít nhất 1 số chia hết cho 2, 1 số chia 
hết cho 3. Mà ƯCLN(3;2) = 1. Nên     3 2n 2 n 1 n 2.3 n 3n 2n 6     
Học Sinh Giỏi Lớp 8 – Cấp Trường – Quận Tân Phú 2014 -2015 
Trang 3 Cty CP GD Thăng Tiến Thăng Long 
Bài 4: Cho ABC có AM là đường trung tuyến. Trên cạnh AB lấy hai điểm D và E sao cho 
AD DE EB  . Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AC = 3AF. Gọi I là giao điểm của AM và CD. 
I
K
F
E
D
M
A
B C
a) Chứng minh: 
1
DI CD
4
 
Chứng minh được: EM là đường trung bình của BDC 
 
EM // DC
1
EM= DC 1
2


 


Xét AEM , ta có: 
 
 
D là trung điểm của AE(...)
DI // EM ...
I AM gt





 I là trung điểm của AM 
 DI là đường trung bình của AEM 
 
1
ID EM 2
2
  
Từ (1) và (2) ta suy ra: 
1
DI CD
4
 
b) Chứng minh ba đường thẳng AM, CD, và BF đồng quy. 
Gọi K là trung điểm của FC. AF FK KC   
Chứng minh được : 
IF là đường trung bình của AMK
MK là đường trung bình của BFC
 


IF // MK
IF BF
BF // MK

  

  B, I, F thẳng hàng. 
Bài 5: Chứng minh rằng nếu a, b, c là số đo của ba cạnh một tam giác vuông, với a là độ dài cạnh 
huynền thì các số x 9a 4b 8c;y 4a b 4c;z 8a 4b 7c         cũng là số đo các cạnh của một 
tam giác vuông khác, 
Theo đề bài, ta có: 
2 2 2
a b c  
Ta có : 
2 2 2 2
x 9a 4b 8c x 81a 16b 64c 72ab 144ac 64bc          
Học Sinh Giỏi Lớp 8 – Cấp Trường – Quận Tân Phú 2014 -2015 
Trang 4 Cty CP GD Thăng Tiến Thăng Long 
mà 
2 2 2
a b c  nên  2 2 2 2 2x 81 b c 16b 64c 72ab 144ac 64bc       
  2 2 2x 97b 145c 72ab 144ac 64bc 1      
Ta có: 
2 2 2 2
y 4a b 4c y 16a b 16c 8ab 32ac 8bc          
mà 
2 2 2
a b c  nên  2 2 2 2 2y 16 b c b 16c 8ab 32ac 8bc       
  2 2 2y 17b 32c 8ab 32ac 8bc 2      
Ta có : 
2 2 2 2
z 8a 4b 7c z 64a 16b 49c 64ab 112ac 56bc          
Mà 
2 2 2
a b c  nên  2 2 2 2 2z 64 b c 16b 49c 64ab 112ac 56bc       
  2 2 2z 80b 113c 64ab 112ac 56bc 3      
Từ (2) và (3), ta có: 
2 2 2 2
y z 97b 145c 72ab 144ac 64bc      
Mà 
2 2 2
x 97b 145c 72ab 144ac 64bc      
Nên 
2 2 2
x y z  . Vậy x, y, z cũng là 3 cạnh của tam giác vuông. 
Bài 6: Cho 12 số tự nhiên từ số 1 đến số 12. Có thể sắp xếp 12 số này trên một vòng tròn sao cho 
2 số kề nhau bất kì có tổng lớn hơn 12 hay không? Vì sao? 
Để thỏa đề 2 số kề nhau bất kì có tổng lớn hơn 12 thì số 1 phải đi với 2 số lớn nhất là 11 và 12 thì 
tổng là: 
 
 
1 12 13 thỏađề
1 11 12 không thỏa đề
  

 
Vậy không thể sắp thỏa đề bài. 
  HẾT 