Đề thi học sinh giỏi Toán 7 – Huyện Hoằng Hoá năm học: 2012 - 2013

 đề thi HSG toán 7 – huyện hoằng hoá
Năm học: 2012-2013
Câu 1(4,5 điểm)
a/ Tính giá trị biểu thức : 
b/ Tìm x biết : 
c/ Tìm x, y biết rằng : 
Câu 2 (4,5 điểm)
a/ Tìm đa thức M biết rằng : 
b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
c/ Tìm x, y, z biết : và x – y + z = 49
Câu 3 (5,0 điểm)
a/ Tìm hai số hữu tỷ a và b biết 
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của bểu thức : 
c/ Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2002 là số chính phương.
Câu 4 (4,0 điểm) : Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A : DABD, DACE sao cho AB = AD, AE = AC. Kẻ AH vuông góc với BC, DM vuông góc với AH, EN vuông góc với AH.
a/ Chứng minh DM = AH
b/ Chứng minh MN đi qua trung điểm của DE
Câu 5 (2,0 điểm) : Cho tam giác đều ABC. M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MA : MB : MC = 3:4:5. Tính số đo góc AMB.
 Hết 
Đáp án Toán 7
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
4,5
a/ 
1,5
b/ .
Vậy : x = 3,5 ; x = -0,5
1,5
c/ 
Ta có : 
Mà => 
=> . Vậy 
1,5
Câu 2
4,5
a/ 
=> 
1,5
b/ 
B lớn nhất khi nhỏ nhất.
Ta có => nhỏ nhất bằng 2, khi x = y = 0
Khi đó B lớn nhất = 
1,5
c/ => => 
=> x = -70 ; y = -105 ; z = -84
1,5
Câu 3
5,0
a/ Tìm hai số hữu tỷ a và b biết: (1)
Từ 
Mặt khác : 
=> .
Vậy : 
2,0
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của bểu thức : 
Sử dụng : . Dấu “=” xảy ra khi A,B cùng dấu. (*)
Ta có : 
Vậy M (min) = 1 khi ( 2012 - x)(x – 2013) ≥ 0 => 2012 ≤ x ≤ 2013
1,5
Nhận xét : 
Nếu số chính phương chia hết cho a ( là số nguyên tố) thì nó chia hết cho a2
Giả sử A = n2 + 2002 là số chỉnh phương.
- Xét trường hợp 1 : n là số chẵn => n = 2k 
=> n2 = 4k2=> A = n2 + 2002 = 4k2 + 2002
Ta có : 4k2 chia hết cho 2 , 2002 chia hết cho 2 => A chia hết cho 2 => A chia hết cho 4.
Do 4k2 chia hết cho 4, còn 2002 không chia hết cho 4 => A không chia hết cho 4(loại) 
- Xét trường hợp 2 : n là số lẻ => n = 2k +1 
=> A là số chính phương lẻ, có dạng (2b + 1)2 = 4b2 + 4b + 1 chia cho 4 dư 1.
Mà : A = (2k + 1)2 + 2002 = 4k2 + 4k + 2003 chia cho 4 dư 3 ( loại)
Vậy không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2002 là số chính phương
1,5
Câu 4
4,0
Hình vẽ
a/ Chứng minh DM = AH
Xét DMAD và DHBA có
 (gt) (1)
AD = AB (gt) (2)
 (3)
Từ 1,2,3 => DMAD = DHBA (Cạnh huyền – góc nhọn)
=> DM = AH ( Hai cạnh tương ứng)(ĐPCM) (4)
2,0
b/ Chứng minh MN đi qua trung điểm của DE
Chứng minh tương tự câu a => EN = AH (5)
Gọi giao điểm của MN và DE là I
C/m được : DMID = DNIE (Cạnh góc vuông – góc nhọn)
ID = IE (Hai cạnh tương ứng)
I là trung điểm của DE => MN đi qua trung điểm I của DE (ĐPCM)
2,0
Câu 5
2,0
Do 
=> Đặt 
=> MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a
Trên nửa mặt phẳng bờ AC dựng tam giác đều
AMN => AM = AN = MN = 3a và 
Xét DABN và DACM có
AB = AC (gt) (1) ; AN = AM = 3a (2)
(3)
Từ 1,2,3 => DABN = DACM (c.g.c)
=> BN = CN = 5a.
XétD BMN có BN2 = (5a)2 = 25a2
BM2 + MN2 = (4a)2 + (3a)2 = 25a2
=> BN2 = BM2 + MN2 => D BMN vuông tại M (đ/l pytago đảo)
=> 
Suy ra : 
2,0
Phòng giáo dục và đào tạo
Huyện Hoằng hóa
đề thi học sinh giỏi - năm học 2011-2012
Môn toán - lớp 7
Thời gian làm bài : 120 phú t( không kể thời gian giao đề)
Bài 1( 4.0 điểm): 
 a) Cho biểu thức : . Tính giá trị của M với ; b = - 0,75.
 b) Xác định dấu của c, biết rằng trái dấu với .
Bài 2( 4.0 điểm): 
 a) Tìm các số x, y, z biết rằng: và 2x – 3y + z = 6.
 b) Cho dãy tỉ số bằng nhau : 
Tính giá trị của biểu thức M, với 
Bài 3( 3.0 điểm): Cho hàm số y = f(x) = 2 – x2.
 a) Hãy tính : f(0) ; f()
 b) Chứng minh : f(x – 1) = f(1 – x)
Bài 4( 4.0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với AM. Qua M kẻ các đường thẳng vuông góc với AB và AC, chúng cắt d theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng: 
 a) BD // CE.
 b) DE = BD + CE.
Bài 5( 3.0 điểm): Tìm tỉ số của A và B, biết rằng: 
Trong đó A có 25 số hạng và B có 1980 số hạng.
Bài 6( 2.0 điểm): Cho tam giác ABC cân. Trên cạnh đáy BC lấy điểm D sao cho: CD = 2 BD. Chứng minh rằng: 
................... Hết .....................
Phòng giáo dục và đào tạo
Hoằng hóa
Hướng dẫn chấm toán lơp 7
Cõu
HD chấm
Điểm
Cõu 1
(4,0đ)
a.(2.5đ) Ta cú: hoặc 
Với a = 1,5 và b = -0,75 thỡ = 1,5 + 2.1,5.(- 0,75) = 0
Với a = - 1,5 và b = - 0,75 thỡ = 
b. (1.5đ) Do và trỏi dấu nờn : 
.() < 0. 
 ( vỡ a8b4 > 0 với mọi )
Vậy c > 0 tức là mang dấu dương.
0.5đ
1.0đ
1.0đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
Cõu 2
(4,0 đ)
a( 2.0đ).
 vỡ 
Theo tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ta cú: 
Suy ra x = 27; y = 36; z = 60.
b.(2đ) Từ giả thiết suy ra 
* Nếu a + b + c + d = 0 thỡ a + b = - (c + d); b + c = - (d + a);
c + d = - ( a + b); d + a = - ( b + c)
Khi đú M = (- 1) + (- 1) +(- 1) +(- 1) = - 4 
* Nếu a + b + c + d 0 thỡ nờn a = b = c = d 
Khi đú M = 1 + 1 + 1 +1 = 4
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.5đ
Cõu 3.
(3,0 đ)
 a.(2.0đ) f(0) = 2 – 02 = 2; 
 f() = 2 – = 
b.(1.0đ) f(x – 1) = 2 – ( x – 1 )2; f(1 – x ) = 2 – ( 1 – x )2
do (x – 1) và (1 – x) là hai số đối nhau nờn bỡnh phương bằng nhau.
Vậy 2 – ( x – 1 )2 = 2 – ( 1 – x )2 hay f(x – 1) = f(1 – x).
1.0đ
1.0đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
Cõu 4
(4,0 đ)
(2,5đ) Theo tớnh chất đường trung tuyến ứng với cạnh 
huyền của tam giỏc vuụng: MA = MB.
Gọi H là giao điểm của MD và AB.
Tam giỏc cõn AMB cú MH đường cao ứng với đỏy
 nờn là đường trung trực, suy ra : DA = DB.
 Chứng minh được 
suy ra gúc MBD = gúc MAD = 900; 
do đú 
Tương tự ta cú : 
Vậy BD // CE (vỡ cựng vuụng gúc với BC), đpcm.
(1,5đ) Theo cõu a, DB = DA. 
 Tương tự, EC = EA. 
Suy ra DE = DA + AE = BD + CE.
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Cõu 5
(3,0 đ)
Ta cú : 
Áp dụng tớnh A và B ta được: 
Vậy 
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Cõu 6
(2,0 đ)
Gọi M là trung điểm của DC. Trờn tia đối của tia MA
lấy điểm E sao cho ME = MA.
 Ta cú hai tam giỏc AMC và EMD bằng nhau 
Vỡ MD = MC, MA = ME, .
Nờn DE = AC, và gúc .
Mặt khỏc , 
( theo tớnh chất gúc ngoài tam giỏc)
mà ( vỡ tam giỏc ABC cõn, đỏy BC)
nờn suy ra AC > AD.
Từ đú DE > DA, suy ra ,hay .
Vỡ ( do )
 nờn gúc hay 
Suy ra 
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Chỳ ý : 
Học sinh làm cỏch khỏc, đỳng vẫn cho điểm tối đa.
Bài hỡnh khụng vẽ hỡnh, hoặc vẽ sai thỡ khụng chấm điểm. 
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2014-2015
MễN THI: TOÁN
Ngày thi: 16/03/2015
Thời gian: 120 phỳt ( Khụng kể thời gian giao đề)
 (Đề thi này cú 05 cõu, gồm 01 trang)
Cõu 1: (4,5 điểm). 
	a) Tớnh giỏ trị của biểu thức 
	b) Tớnh giỏ trị của biểu thức B = 2x2 – 3x + 1 với .
	c) Tỡm 3 số x, y, z biết rằng: ; và x + y + z = - 110.
Cõu 2: (4,5 điểm). 
	a) Tỡm tập hợp cỏc số nguyờn x, biết rằng: 
	b) Tìm x, biết: 
	c) Tớnh giỏ trị của biểu thức:C = 2x5 – 5y3 + 2015 tại x, y thỏa món:
 + (y + 2)20 = 0
Cõu 3: (3,5 điểm). 
	a) Tỡm số tự nhiờn cú ba chữ số, biết rằng số đú là bội của 18 và cỏc chữ số của nú tỉ lệ theo 1: 2: 3.
	b) Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn a, b sao cho : 2a + 37 = + b - 45.
Cõu 4: (6,0 điểm) 
	Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn (AB < AC). Vẽ về phớa ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC. 
	a) Chứng minh rằng: DADC = DABE.
	b) Chứng minh rằng: = 600.
	c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng DAMN đều.
	d) Chứng minh rằng IA là phõn giỏc của gúc DIE. 
Cõu 5: (1,5 điểm) 
	Cho 20 số nguyờn khỏc 0 : a1, a2, a3,  , a20 cú cỏc tớnh chất sau:
* a1 là số dương. 
* Tổng của ba số viết liền nhau bất kỡ là một số dương. 
* Tổng của 20 số đú là số õm. 
Chứng minh rằng : a1.a14 + a14a12 < a1.a12. 
	 .............. Hết.............
Giỏm thị xem thi khụng giải thớch gỡ thờm!
 Họ và tờn thớ sinh::........................................... SBD........................................
 Giỏm thị 1:.................................................... Giỏm thị 2:..............................
 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2014-2015
MễN : TOÁN.
Nội dung
Điểm
CÂU 1 (4,5đ)
a
(1,5)
= 
Vậy : A = 0
0,75 đ
0,5đ
0,25đ
b
(1,5)
Vỡ nờn x = hoặc x = - 
Với x = thỡ: A = 2.()2 – 3. + 1 = 0
Với x = - thỡ: A = 2.(- )2 – 3.(-) + 1 = 3
Vậy : A=0 với x = và A=3 với x = - 
0,75 đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
c
(1,5)
Từ ; . Suy ra 
Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau, ta cú:
 = -2
Suy ra x = -2.6 = -12; y = -2.14 = -28; z = -2.35 = - 70.
Vậy:x = -12; y = -28; z = - 70.
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
CÂU 2
(4,5đ)
a
(1,5)
2) Ta cú: 
Lạicú:
Do đú: - 5 < x < mà x ẻ Z nờn x ẻ{-4; -3; -2; -1}
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b
(2,0)
a) Nhận xét: Vế trái của đẳng thức luôn 0 nên vế phải 0 
suy ra 11x 0 hay x 0.
với x 0 ta có: 
suy ra x = 1- = (TM)
 Vậy:x = 
0,75đ
0,75đ
0,25đ
0,25đ
c
(1,0)
1) Do ≥ 0; (y + 2)20 ≥ 0 ị + (y + 2)20 ≥ 0 với mọi x, y.
Kết hợp + (y + 2)20 = 0 suy ra = 0 và (y + 2)20 = 0
Û x = 1; y = - 2.
Giỏ trị của biểu thức :C=2x5 – 5y3 + 2015 tại x = 1; y = - 2 
là:C=2.15 – 5.(-2)3 + 2015 = 2 + 40 + 2015 = 2057
Vậy C=2057
0,25 đ
0,25đ
0,25 đ
0,25đ
CÂU 3
(3,5đ)
a
(1,5)
Gọi a, b, c là cỏc chữ số của số cú ba chữ số cần tỡm. Khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử a b c9. 
Ta cú 1 a + b + c 27 . 
Mặt khỏc số cần tỡm là bội của 18 nờn là bội của 9,
 do đú a + b + c = 9 hoặc a + b + c = 18 hoặc a + b + c = 27.
Theo đề bài ta cú: 
Như vậy a + b + c chia hết cho 6, nờn a + b + c = 18.
Từ đú suy ra a = 3, b = 6, c = 9.
Do số phải tỡm là bội của 18 nờn chữ số hàng đơn vị chẵn,
 vỡ vậy hai số cần tỡm là: 396; 936.
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
b
(2,0)
Nhận xột: Với x ≥ 0 thỡ + x = 2x
Với x < 0 thỡ + x = 0. Do đú + x luụn là số chẵn với " xẻZ.
Áp dụng nhận xột trờn thỡ + b – 45 là số chẵn với b ẻ Z.
Suy ra 2a + 37 là số chẵn ị 2a lẻ Û a = 0 . 
Khi đú + b – 45 = 38
+ Nếu b < 45, ta cú - (b – 45) + b – 45 = 38 Û 0 = 38 (loại)
+ Nếu b ≥ 45 , ta cú 2(b – 45) = 38 Ûb – 45 = 19 Û b = 64 (TM)
vậy (a; b) = (0; 64)
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
CÂU 4
(6,0đ)
a
(1,0)
Ta cú: AD = AB; và AC = AE
Suy ra DADC = DABE (c.g.c)
0,75 đ
0,25 đ
b
(1,5)
Từ DADC = DABE (cõu a), 
mà (đối đỉnh). 
Khi đú xột DBIK và DDAK suy ra = 600 (đpcm)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
c
(1,5)
Từ DADC = DABE (cõu a) ị CM = EN và 
ịDACM = DAEN (c.g.c) ị AM = AN và 
 = 600. Do đú DAMN đều.
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
d
(2,0)
Trờn tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB ị DBIJ đều ị BJ = BI và = 600 suy ra , kết hợp BA = BD 
ịDIBA = DJBD (c.g.c) = 1200 mà = 600 
 = 600. Từ đú suy ra IA là phõn giỏc của gúc DIE
CÂU 5
(1,5đ)
(1,5)
Ta cú : a1 + (a2 + a3 + a4) +  + (a11 + a12 + a13) + a14 + (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) 0 ; a2 + a3 + a4 > 0 ;  ; a11 + a12 + a13 > 0 ; a15 + a16 + a17 > 0 ; a18 + a19 + a20 > 0 => a14 < 0. 
Cũng như vậy : (a1 + a2 + a3) +  + (a10 + a11 + a12) + (a13 + a14) + (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) a13 + a14 < 0. 
Mặt khỏc, a12 + a13 + a14 > 0 => a12 > 0. 
Từ cỏc điều kiện a1 > 0 ; a12 > 0 ; a14 a1.a14 + a14a12 < a1.a12 (đpcm). 
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
Chỳ ý: 
+)Nếu HS làm theo cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa.
+)Nếu HS thiếu đỏp số trừ 0,25 điểm.
+)Cõu 2a);3a) Nếu thiếu 1 giỏ trị trừ 0,1 điểm.
+)Cõu 2b);3b) Khụng kiểm tra điều kiện trừ 0,1 điểm.