Đề thi học sinh giỏi năm học 2014 - 2015 môn: Toán 8

PHềNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014-2015
 TIỀN HẢI mÔN: TOÁN 8
 (Thời gian làm bài 120 phỳt)
Bài 1 ( 5 điểm):
a) Tỡm x, y biết: 2x2 + y2 + 6 = 4(x – y)
b) Cho x, y là hai số khỏc nhau thỏa món: x2 + y = y2 + x
Tớnh giỏ trị của biểu thức
c) Cho a > b > 0. Trong hai số sau số nào lớn hơn
 và 
Bài 2 ( 4 điểm):
Cho phương trỡnh: (1)
Giải phương trỡnh khi a = 2; b = - 3
Giải và biện luận phương trỡnh (1)
Bài 3 ( 3,5 điểm):
Cho A = a2 + b2 + c2 , trong đú a;b là hai số tự nhiờn liờn tiếp và c = a.b. Chứng minh A là một số chớnh phương lẻ.
Cho số tự nhiờn n > 3. Chứng minh nếu 2n = 10a + b ( 0 < b < 10) thỡ tớch a.b chia hết cho 6.
Bài 4 ( 6 điểm):
Cho tam giỏc ABC vuụng ở A. Kẻ đường cao AA’, Gọi E và F lần lượt là hỡnh chiếu của A’ lờn AC và AB. Chứng minh rằng:
a) từ đú suy ra AC2 = CA’.CB
 b) 
 c) D là một điểm nằm trờn cạnh huyền BC; M,N là hỡnh chiếu của D lờn AB và AC. Chứng minh DB.DC = MA.MB + NA.NC
Bài 5 ( 1.5 điểm):
Cho tứ giỏc lồi ABCD cú diện tớch S và O là điểm nằm trong tứ giỏc sao cho OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = 2S. Chứng minh rằng ABCD là một hỡnh vuụng cú tõm O.
Họ và tờn thớ sinh: ........................................................................................................
 Số bỏo danh: .......................................................................................................................PHềNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KI THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011-2012
 TIỀN HẢI hƯỚNG DẪN CHẤM THI TOÁN 8
Bài 1
( 5 điểm)
a)
0,5 đ
0,5đ
0,75đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
b) 
0,5đ
0,5đ
 ( t/m điều kiện)
Vậy thỡ A=2.
Bài 2
(4 điểm)
a) 
2đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
Vậy Tập nghiệm của pt: 
0,25đ
b)Cho cỏc số nguyờn a, b,c thoả món: . Cứng minh rằng: là số chớnh phương.
2đ
Ta cú: 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Vỡ a, b, c là cỏc số nguyờn
 là số chớnh phương
0,5đ
Bài 3 
( 5 điểm)
-Vẽ hỡnh sai khụng chấm 
a) C/m: đồng dạng với 
2 đ
0,5đ
Do (2)
Lại cú: (3)
0,5đ
Từ (1) (2) (3) (4)
0,25đ
- Chứng minh tương tự: (5)
0,5đ
- Từ (4) và (5). Suy ra đồng dạng với (g.g)
0,25đ
b) C/m 3 điểm H, E, I thẳng hàng
2 đ
* FA=FC(gt); OA=OI (gt). 
 OF là đg trung bỡnh của tam giỏc ACI (a)
0,5đ
* (b)
0,25đ
* đồng dạng với (b)
0,5đ
- Từ (a) (b) (c). 
0,25đ
- Vậy E là trung điểm của đường chộo BC nờn E cũng là trung điểm của HI. Vậy H, E, I thẳng hàng
0,5đ
c) C/m: 
1 đ
- Chứng minh được: 
0,25đ
0,25đ
Mà: 
0,25đ
0,25đ
Bài 4
(2điểm)
2 đ
Kẻ BM//EF; DN//EF.
0,5đ
FG//DN
0,25đ
EG//BM
0,25đ
0,25đ
- Chứng minh được: 
0,25đ
- Từ (1) và (2) 
0,25đ
Bài 5
(4điểm)
a) Cho 3 số a, b, c thoả món abc=2012. Tớnh giỏ trị của biểu thức : 
2 đ
Thay 2012=abc
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b)Cho cỏc số khụng õm thoả món: a+b+c=1. 
Chứng minh rằng: 
2 đ
 (1)
0,5đ
Áp dụng BĐT: 
0,5đ
0,5đ
Từ (1) và (2) 
0,5đ