Đề thi học sinh giỏi năm học 2013 - 2014 môn: Toán 9

Phòng GIáO DụC-ĐàO TạO
tiền hải
đề chính thức
đề thi học sinh giỏi NĂM HọC 2013-2014
Môn: toán 9
(Thời gian 120 phút làm bài)
Bài 1 ( 4 điểm ).  
 a) Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món phương trỡnh x2 - 3x +1 = y2.
 b) Chứng minh rằng nếu mỗi số tự nhiờn a và b đều là tổng của hai số chớnh phương thỡ ab cũng là tổng của hai số chớnh phương . 
 Bài 2 (4 điểm ). 
1) Cho biểu thức : 
 A = 
 a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi và .
2) Đa thức f(x) khi chia cho x – 5 được số dư là 14 và khi chia cho x + 1 được số dư là 2. Tỡm đa thức dư trong phộp chia đa thức f(x) cho đa thức x2 – 4x – 5.
Bài 3 (4 điểm). 
 Cho phương trình : x2 - 2(m + 1)x + m2 - 4m + 7 = 0 (với m là tham số)
 a) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt .
 b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1, x2 thỏa món .
 c)Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức A = x12 + x22 + 5x1x2 cú GTNN. Tỡm GTNN đú .
Bài 4 (6 điểm ) . 
 Cho tam giỏc nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O bỏn kinh R . Vẽ cỏc đường cao AD, BE, CF . Vẽ đường kính AK của đường trũn (O) .
 a) Chứng minh : AB. AC = AD. AK và SABC = .	
 b) Chứng minh OA vuụng gúc với EF.
 c) Vẽ đường trũn (I) đi qua B, C và tiếp xỳc với AB tại B. Gọi M là giao điểm của cạnh AC với đường trũn (I), N là giao điểm của đường thẳng AD và đường thẳng BK. Chứng minh bốn điểm A, B, N, M cựng thuộc một đường trũn.
Bài 5(2 điểm) : 
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A . D là một điểm nằm trong tam giỏc sao cho CD = CA . M là một điểm trờn cạnh AB sao cho . N là giao điểm của MD và đường cao AH của DABC . Chứng minh DM = DN.
---------------------------- Hết -----------------------------
 Họ tên học sinh.............................................................SBD...............Phòng..........