Đề thi học sinh giỏi môn Toán - Trương Quang An

TRƯƠNG QUANG AN 	ĐỀ CHÍNH THỨC
- MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 02 tháng 7 năm 2011 (Đợt 2)
Đề thi có 01 trang
Câu 1 (2,5 điểm) 
a) Tính: 
b) Tìm điều kiện của x để biểu thức: có nghĩa.
c) Giải phương trình: 
Câu 2 (2,0 điểm)
	a) Giải hệ phương trình: 
b) Cho hệ phương trình: 
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3 (1,5 điểm) 
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho các điểm , , và gọi đồ thị của hàm số là đường thẳng (d). 
a) Trong ba điểm A, B, C điểm nào thuộc đường thẳng (d)? 
	b) Tìm a và b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm và song song với đường thẳng (d).
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O, R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi M là một điểm trên bán kính OB sao cho OM = , đường thẳng CM cắt đường tròn (O, R) tại N và cắt đường thẳng BD tại K. 
a) Chứng minh tứ giác OMND nội tiếp.
b) Chứng minh K là trung điểm của BD và 
c) Tính độ dài đoạn thẳng theo R. 
Câu 5 (1,0 điểm) 
Tìm các số nguyên , thoả mãn phương trình:
----------------------------- HẾT ------------------------------
Họ và tên thí sinh ................................................................ SBD .............................
 (Hướng dẫn chấm thi đề chính thức có 04 trang)
I. Một số chú ý khi chấm bài
· Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic.
· Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.
· Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.
II. Đáp án và biểu điểm
Câu 1 (2,50 điểm) 
a) Tính: 
b) Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa.
c) Giải phương trình: 
ĐÁP ÁN
BIỂU ĐIỂM
a) (0,75 điểm)
Vì nên
0,25 điểm
0,25 điểm
 =
0,25 điểm
b) ( 0,75 điểm)
Biểu thức B có nghĩa khi và chỉ khi: 
0,25 điểm
0,25 điểm
Vậy điều kiện để biểu thức B có nghĩa là 
0,25 điểm
c) (1,00 điểm)
 Ta có: 
0,25 điểm
Vì nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 
0,25 điểm
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
(Tính đúng mỗi nghiệm cho 0,25 điểm, không viết tập hợp nghiệm vẫn cho điểm)
0,50 điểm
Câu 2 (2,00 điểm)
a) Giải hệ phương trình: 
b) Cho hệ phương trình: 
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện đạt giá trị nhỏ nhất.
a) (1,00 điểm)
Trừ vế với vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ ta được 
0,25 điểm
0,25 điểm
Thay x = 3 vào phương trình đầu của hệ, ta tìm được y = -1
0,25 điểm
Vậy hệ phương trình có nghiệm 
0,25 điểm
b) (1,00 điểm)
Thay (1) vào phương trình thứ hai của hệ ta được
0,25 điểm
Khi đó 
Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất
0,25 điểm
Từ (2) và (3) ta suy ra 
 , với .
0,25 điểm
Dấu “=” xảy ra . Vậy min= .
0,25 điểm
Câu 3 (1,50 điểm): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho các điểm , , và gọi đồ thị của hàm số là đường thẳng (d). 
a) Trong ba điểm A, B, C điểm nào thuộc đường thẳng (d)? 
	b) Tìm a và b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm và song song với đường thẳng (d).
ĐÁP ÁN
BIỂU ĐIỂM
a) (0,75 điểm)
Với thì , suy ra 
0,25 điểm
Với thì , suy ra 
0,25 điểm
Với thì , suy ra 
Vậy A, còn .
0,25 điểm
 b) (0,75 điểm)
Vì đồ thị hàm số y = ax + b song song với đường thẳng (d) nên a = 2.
Do đó hàm số cần tìm có dạng y = 2x + b (với )
0,25 điểm
Để đồ thị hàm số y = 2x + b đi qua điểm thì 
0,25 điểm
Vậy a = 2, b = 4 và hàm số cần tìm là y = 2x + 4.
(Nếu không nêu rõ điều kiện vẫn cho điểm).
0,25 điểm
Câu 4 (3,00 điểm)
Cho đường tròn (O, R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi M là một điểm trên bán kính OB sao cho OM = , đường thẳng CM cắt đường tròn (O, R) tại N và cắt đường thẳng BD tại K. 
a) Chứng minh tứ giác OMND nội tiếp.
b) Chứng minh K là trung điểm của BD và 
 c) Tính độ dài đoạn thẳng theo R.
ĐÁP ÁN
BIỂU ĐIỂM
Hình vẽ (0,50 điểm)
a) (0,75 điểm)
Chỉ ra 
0,25 điểm
Chứng minh 
0,25 điểm
Do đó tứ giác OMND nội tiếp đường tròn.
0,25 điểm
b) (1,00 điểm)
Vì O là trung điểm của CD nên BO là đường trung tuyến của BCD
Mặt khác BM = BO nên M là trọng tâm của BCD
0,25 điểm
Vậy CM là đường trung tuyến của BCD, do đó K là trung điểm của BD.
0,25 điểm
Ta có KND đồng dạng KBC (g.g) nên 
0,25 điểm
Vậy (do ) 
0,25 điểm
c) (0,75 điểm )
Ta có NCD đồng dạng OCM (g.g) nên 
0,25 điểm
Vì , CD = 2R, OM = nên
0,25 điểm
0,25 điểm
----------------------------- HẾT ------------------------------
Vì trình độ có hạn và dạy ở trên núi không có điều kiện nghiên cứu và trình độ công nghệ thông tin còn hạn chế ,công tác ở một xã nghèo ,ít tiếp cận với mạng INTERNET ,bản thân chỉ học xong hệ Cao Đẳng Sư Phạm đang dạy hợp đồng cho 1 trường trên núi , mức tiền là 15000 đồng /tiết dạy và nên bài viết chưa được hoàn thiện tốt lắm .Mong đồng nghiệp góp ý đề bài viết này tốt hơn nhé .
Xin mời các bạn giải bài toán sau với nhiều cách giải nhé .Mong nhận được các lời giải của bạn đọc tạp chí toán tuổi trẻ để tôi học hỏi và giao lưu nhé .Đối với tôi bài này thì các bài toán trên có thể giải bằng 13 cách .Các bạn hãy nghiên cứu thêm các cách giải khác nhé và bản thân tôi đang tìm thêm cách giải .
Người yêu toán ở Quảng Ngãi 
Nghĩa Thắng ,Tư Nghĩa ,Quảng Ngãi 
Trương Quang An