Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 năm học: 2009 - 2010

Trường THCS Đông Minh
đề thi HS giỏi môn toán lớp 8
Năm học: 2009-2010
Thời gian : 120 phút (Không kể giao đề)
Bài 1: (1.5đ) Phân tích đa thức thành nhân tử
x2 – xz – 9y2 + 3yz.
4x4 + 4x3 – x2 - x.
Bài 2: (2.5đ) Cho biểu thức.
P = (+): ( -)
a) Rút gọn P.
b) Với x > 0 thì P không nhận những giá trị nào?
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
Bài 3: (1.5đ) Giải phương trình.
a) x3 – 3x2 + 4 = 0
b) 
Bài 4: (1đ) Giải phương trình.
Cho 3 số a, b, c là 3 số dương nhỏ hơn 2. 
Chứng minh rằng 3 số a(2 - b); b(2 – c); c(2 – a) không thể đồng thời lớn hơn 1.
Bài 5: (3.5đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi M là một điểm di động trên cạnh AC, từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM tại H, cắt tia BA tại O. Chứng minh rằng:
a) OA.OB = OC.OH
b) OHA có số đo không đổi.
c) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi.
Biểu điểm và đáp án toán 8-Đông Minh
Bài 1: (1.5đ)
Câu a: (0.57đ)
= (x2 - 9y2) – (xz - 3yz) 	0.25đ
= (x - 3y)(x + 3y) – z(x - 3y) 	0.25đ
= (x - 3y)(x + 3y - z) 	0.25đ
Câu b: (0.75đ)
= x(4x3 + 4x2 – x – 1) 	0.25đ
= 	 	0.25đ
= x(x + 1)(4x2 - 1) = x(x + 1)(2x - 1)(2x + 1) 	0.25đ	
Bài 2: (2.5đ)
Câu a: 1đ
P = : 	0.25đ
= 	0.25đ
= 	0.25đ
= 	0.25đ
Câu b: (0.75đ)
P = 	Px - 3P = x + 3 	0.25đ
	(P – 1)x = 3(P + 1)
	 x = 	
Ta có: x > 0 
Vậy không nhận giá trị từ -1 đến 1.	 	 	0.25đ
Câu c: 0.75đ ĐKXĐ: 
P = =	0.25đ
P nhận giá trị nguyên x - 30Ư (6) = 
Từ đó tìm được x 	 	0.25đ
Kết hợp với Đ/C; ta được. 	x	0.25đ
Vậy x thì P nguyên.
Bài 3: Giải phương trình (1.5đ)
Câu a: (0.75đ)
- Đưa được về dạng tích: (x + 1)(x - 2)2 = 0 	0.50đ
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1; x = 2 	0.25đ
Câu b: (0.75đ) ĐK: xN*n
 - Đưa về dạng 	0.25đ
	 	 	0.25đ
Từ đó tìm được x = 30 (t/m xN*)
Vậy phương trình có nghiệm: x = 30 	0.25đ
Bài 4: (1đ)
Giả sử a(2 – b) > 1; b.(2 – c) >1; C(2 – a) > 1
 abc (2 – b)(2 – c)(2 – a) > 1 (1) 	0.25đ
vì 0 0.
Do a + (2 – a) = 2 không đổi, suy ra a(2 – a) lớn nhất.
 a = 2 – a a = 1
Tương tự b(2 – b) lớn nhất b = 1
 c(2 – c) lớn nhất c = 1
Vậy a (2 - a). b(2 – b). c(2 – c) 1.1.1 = 1 	 (2)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1 	0.25đ
và (2) mâu thuẩn nhau.
Do đó 3 số a(2 – b); b(2 – c); c(2 – a) không thể đồng thời lớn hơn 1 	0.25đ
B
C
O
H
M
A
K
Bài 5: (3.5đ)	
Câu a: (1đ)
Chứng minh: B0H C0A (g.g) 	 	0.5đ
 0A.0B = 0C.0H	0.25đ
Câu b: (1.25đ)
 (suy ra từ B0H C0A)
	0.25đ
- Chứng minh 0HA 0BC (c.g.c) 	0.25đ
 OHA = OBC (không đổi)
Câu c: (1.25đ)
Vẽ MKBC
- BKM BHC (g.g) 
 BM.BH = BC.BK (1) 	0.5đ
 CKM CAB (g.g) 	0.25đ
CM.CA = BC.CK (2) 	0.25đ
Cộng từng vế của (1) và (2) ta được:
BM . BH + CM . CA = BC . BK + BC . CK
 = BC . (BK + CK) = BC2 (không đổi) 	0.25đ