Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD & ĐT Tiền Hải (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 -2017
m¤N: TOÁN 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (5 điểm)
a) Thực hiện phép tính: 	
b) Tính giá trị biểu thức:	B = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + + 17.18.19 
c) Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu tăng chữ số hàng trăm thêm n đơn vị đồng thời giảm chữ số hàng chục và giảm chữ số hàng đơn vị đi n đơn vị thì được một số có 3 chữ số gấp n lần số có 3 chữ số ban đầu.
Bài 2 (3 điểm)
a) Tìm các số x, y, z biết rằng: 	3x = 4y, 5y = 6z và xyz = 30.
b) Tìm x biết: 	
Bài 3 (3 điểm)
1) Cho hàm số y = f(x) = (m – 1)x
a) Tìm m biết: f(2) – f(–1) = 7
b) Cho m = 5. Tìm x biết f(3 – 2x) = 20 
2) Cho các đơn thức A = x2yz2, B = xy2z2, C = x3y
 	 Chứng minh rằng các đơn thức A, B, C không thể cùng nhận giá trị âm.
Bài 4 (7 điểm)
Cho ABC nhọn có góc A bằng 600. Phân giác cắt AC tại D, phân giác cắt AB tại E. BD cắt CE tại I.
a) Tính số đo góc BIC.
b) Trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BF = BE. Chứng minh CID = CIF.
c) Trên tia IF lấy điểm M sao cho IM = IB + IC. Chứng minh BCM là tam giác đều.
Bài 5 (2 điểm) 
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: 2.22 + 3.23 + 4.24 +  + n.2n = 2n+11
 Họ và tên thí sinh: ................................................................................................
 Số báo danh: ....................................Phòng.....................................................
HƯỚNG DẪN
BÀI
Ý
NỘI DUNG
ĐIỂM
1
(5đ)
a
0.5
0.5
0.5
0.5
b
4B=1.2.3.4+2.3.4.(5 – 1)+3.4.5.(6 – 2)++17.18.19.(20 – 16)
0.5
4B=1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + 3.4.5.6 – 2.3.4.5 + 17.18.19.20 – 16.17.18.19
0.5
4B=17.18.19.20 
0.5
B = 17.18.19.5 = 29070
0.5
c
Gọi số có 3 chữ số cầìm tìm là (a, b, c là STN có 1 chữ số, a 0)
Theo bài ra ta có: 
0.25
 100(a + n) + 10(b – n) + (c – n) = n(100a + 10b + c)
 100a + 100n + 10b – 10n + c – n = 100an + 10bn + cn
 100(n – 1)a + 10(n – 1)b + (n – 1)c = 89n
0.25
 89n n – 1 mà (89; n – 1) = 1 nên n n – 1 
0.25
Tìm được n = 2 
Số có 3 chữ số cần tìm là 178
0.25
2
(3đ)
a
0.25
 x = 8k, y = 6k, z = 5k
0.25
xyz = 30 8k.6k.5k = 30 240k3 = 30 k = ½ 
0.5
 x = 4, y = 3, z = 
0.5
b
0.25
0.25
0.5
0.5
3
(3đ)
1.a
Vì f(2) – f(–1) =7 (m – 2).2 – (m – 1).(–1) = 7
0.25
2m – 4 + m – 1 = 7 
0.25
 3m – 5 = 7 m = 4
0.5
1.b
Với m = 5 ta có hàm số y = f(x) = 4x
0.25
Vì f(3 – 2x) = 20 4(3 – 2x) = 20 
0.25
12 – 8x = 20 x = –1
0.5
2
Giả sử cả 3 đơn thức A, B, C cùng có giá trị âm 
 A.B.C có giá trị âm 	(1)
0.25
Mặt khác: A.B.C = (– ½ x2yz2).(– ¾ xy2z2). x3y = x6y4z4
0.25
Vì x6y4z4 0 A.B.C 0 	(2)
0.25
Ta thấy (1) mâu thuẫn với (2) điều giả sử sai. 
Vậy ba đơn thức A = – ½ x2yz2, B = – ¾ xy2z2, C = x3y không thể cùng có 
giá trị âm.
0.25
4
(7đ)
Vẽ hình đúng, ghi đúng giả thiết, kết luận
0.5
a
BD là phân giác của góc ABC nên B1=B2= ½ ABC
CE là phân giác của góc ACB nên C1=C2= ½ ACB
0.5
Mà tam giác ABC có A+B+C = 1800 suy ra 600 + ABC+ACB = 1800 
0.5
 ABC+ACB = 1200 B2+C1= 600 
0.5
 BIC = 1200 
0.5
b
BIE = BIF (cgc) BIE = BIF
0.5
BIC = 1200 BIE = 600 BIE = BIF = 600 
0.5
Mà BIE + BIF + CIF = 1800 CIF = 600
0.5
CID = BIE = 600 (đ.đ) CIF = CID = 600
0.5
 CID = CIF (gcg)
0.5
c
Trên đoạn IM lấy điểm N sao cho IB = IN NM = IC
0.5
 BIN đều BN = BI và BNM = 1200 
0.5
 BNM = BIC (cgc)
0.5
 BM = BC và B2 = B4 BCM đều
0.5
5
(2đ)
Đặt S = 2.22 + 3.23 + 4.24 +  + n.2n
S = 2S – S = (2.23 + 3.24 + 4.25 + + n.2n+1) – (2.22 + 3.23 + 4.24 +  + n.2n)
0.5
S = n.2n+1 – 23 – (23 + 24 + + 2n-1 + 2n)
0.5
Đặt T = 23 + 24 + + 2n-1 + 2n . Tính được T = 2T – T = 2n-1 – 23 
0.5
S = n.2n+1 – 23 – 2n-1 + 23 = (n – 1).2n+1
(n – 1).2n+1 = 2n+11 n – 1 = 210 n = 210 +1 = 1025
0.5