Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD & ĐT Hoài Nhơn (Có đáp án)

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
Đề chính thức
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn: TOÁN 7
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Bài 1 (4 điểm): 
a) So sánh hai số: (– 5)39 và (– 2)91
b) Chứng minh rằng: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n N
Bài 2 (4 điểm): 
 a) Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn: 
b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 
Bài 3 (4 điểm): Ba lớp 7 ở trường K có tất cả 147 học sinh. Nếu đưa số học sinh của lớp 7A1, số học sinh của lớp 7A2 và số học sinh của lớp 7A3 đi thi học sinh giỏi cấp huyện thì số học sinh còn lại của ba lớp bằng nhau. Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC có .
a) Tính số đo các góc của tam giác ABC.
b) Kẻ AD vuông góc với BC (D thuộc BC). Chứng minh: AD < BD < CD.
Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB.
a) Chứng minh rằng: BM = CN
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: KC AC.
 Ghi chú: Thí sinh không được phép sử dụng các loại máy tính cầm tay.
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7
KỲ THI HSG CẤP HUYỆN. NĂM HỌC 2012 – 2013.
Bài
Đáp án
Điểm
1
4 điểm
a) So sánh hai số: (– 5)39 và (– 2)91
2,0đ
 Ta có: (– 5)39 = – 539 = – (53)13 = – 12513
0,75đ
 (– 2)91 = – 291 = – (27)13 = – 12813
0,75đ
 Ta thấy: 12513 – 12813 (– 5)39 > (– 2)91
0,5đ
b) Chứng minh: Số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n N
2,0đ
 Ta có: A = 11n+2 + 122n+1 = 112.11n + 12.(122)n = 121.11n + 12.144n 
 = (133 – 12).11n + 12.144n = 133.11n – 12.11n + 12.144n
 = 133.11n + 12.(144n – 11n)	
1,0đ
 Ta thấy: 133.11n 133 
 (144n – 11n) (144 – 11) = 133 12.(144n – 11n) 133 
0,5đ
 Do đó suy ra: 133.11n + 12.(144n – 11n) chia hết cho 133
 Vậy: số A = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133, với mọi n N
0,5đ
2
4 điểm
a) Tìm tất cả các cặp số (x; y): 
2,0đ
Ta có: 2012 là số tự nhiên chẵn (2x – y + 7)2012 0 
 và 
0,5đ
Do đó, từ 
 suy ra: (2x – y + 7)2012 = 0 và 
0,5đ
 2x – y + 7 = 0 (1) và x – 3 = 0 (2)
0,5đ
 Từ (2) x = 3
 Từ (1) y = 2x + 7 = 2.3 + 7 = 13
 Vậy cặp số (x; y) cần tìm là (3; 13)
0,5đ
b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a
2,0đ
Ta có: và 
0,5đ
Do đó, từ 
 n(n + 1) chia hết cho số nguyên tố 37
 n hoặc n + 1 chia hết cho 37 (1)
0,5đ
Mặt khác: 999 n(n + 1) 1998 n < 45 (2)
Từ (1) và (2) suy ra hoặc n = 37, hoặc n + 1 = 37
0,5đ
- Với n = 37 thì (không thỏa)
- Với n + 1 = 37 thì (thỏa mãn)
Vậy n = 36 và a = 6.
0,5đ
3
4 điểm
Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K.
4,0đ
Gọi tổng số học sinh của 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là a, b, c (a,b,cN*)
 Theo bài ra ta có : (*) và a + b + c =147
1,0đ
Từ (*) 
1,0đ
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có : 
=.
1,0đ
 Suy ra : a = 54, b = 48, c = 45
 Vậy tổng số học sinh của 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là 54, 48 và 45.
1,0đ
4
4 điểm
a) Tính số đo các góc của ABC:
2,0đ
Từ 
1,0đ
Vậy: 
1,0đ
b) Chứng minh AD < BD < CD.
2,0đ
- TrongACD có 
- Xét ADB có 
1,0đ
- Xét ABC có (*)
- Áp dụng định lý Pytago cho hai tam giác vuông ADB và ADC có:
 AB2 = AD2 + BD2 và AC2 = AD2 + CD2
 Do đó, từ (*) AD2 + BD2 < AD2 + CD2 
 BD2 < CD2 BD < CD (2)
 Từ (1) và (2) AD < BD < CD 
1,0đ
5
4 điểm
a) Chứng minh rằng: BM = CN
1,0đ
Theo giả thiết, ta có:
 2AB = AB + AB = AB + AM + BM 
AM + AN = AM + AC + CN 
 ABC cân ở A AB = AC
Do đó, từ AM + AN = 2AB
 BM = CN
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
1,5đ
 Qua M kẽ ME // AC (E BC)
ABC cân ở A BME cân ở M EM = BM = CN
0,75đ
 MEI = NCI (g-c-g) IM = IN 
Vậy: BC đi qua trung điểm của MN.
0,75đ
c) Chứng minh rằng: KC AN. 
1,5đ
+ K thuộc đường trung trực của MN KM = KN (1)
+ ABK = ACK (c-g-c) KB = KC (2); (*)
+ Kết quả câu c/m câu a) BM = CN (3)
0,5đ
+ Từ (1), (2) và (3) BMK = CNK (c-c-c) (**)
0,5đ
+ Từ (*) và (**) KC AN
0,5đ
 * Ghi chú: Mọi cách giải khác mà đúng và phù hợp đều ghi điểm tối đa.