Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Trương Thị Quyên (Có đáp án)

Bài I. (6 điểm )
1)Thực hiện phép tính
 a) A = ( + - ):( + - + . . ) + 1:(30. 1009 – 160)
 b) M = 
2) Chứng minh rằng: 11n + 2 + 122n + 1 Chia hết cho 133
3) Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho:
; ; 
Bài II : (4 điểm)
 1) Cho A = 31 +32+33 + .....+ 32006 
	a, Tính A
	b, Tìm x để 2A+3 = 3x 
 2) Cho S = . Chứng minh rằng : 1< S < 2
Bài III: (2 Điểm). Tìm các số nguyên tố x,y sao cho: x2 + 45 = y2 
Bài IV : (4 điểm )Cho xOy và yOz là hai góc kề bù thoả mãn xOy = 54 yOz 
a) Tính số đo các góc xOy và yOz.
b) Kẻ tia Ot sao cho tOy = 80o Tia Oy có là tia phân giác của tOz không ? Tại sao ?
Bài V: (2 Điểm).
 Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 
1+ 2+ 3+ .+ n = 
 Người ra đề
BGH duyệt Trương Thi Quyên
Bài
Hướng dẫn chấm
Điểm
I
1a (1đ)
Ta viết lại A như sau :
A=+ 
 = + = 1
0,5đ
0,5đ
1b
M = = 
= 
= 
0,25đ
0, 25đ
0,5đ
2
11n + 2 + 122n + 1 = 121 . 11n + 12 . 144n
=(133 – 12) . 11n + 12 . 144n = 133 . 11n + (144n – 11n) . 12
Tacó: 133 . 11n chia hết 133; 144n – 11n chia hết (144 – 11) 
Þ 144n – 11n chia hết 133 Þ 11n + 1 + 122n + 1
1đ
1đ
3
 Ta có 1221 = 47, các phân số,53,47, 611 tối giản nên tồn tại các số tự nhiên k, l, m sao cho a=3k, b=5k, b=4n, c=7n, c= 6m, d=11m. 
 Từ các đẳng thức 3k=4n, và 7n = 6m ta có 4n5 và 7n 6 mà (4,5)=1; (7,6)=1 nên : 
n5, n 6 mặt khác (5,6) =1 do đó n 30
để các số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất và phải khác 0 , ta chọn n nhỏ nhất bằng 30 suy ra: k =24, m=35
vậy a=72, b=120, c=210, d=385.
1đ
1đ
II
1a
 A = 31 +32+33 + ...+ 32014 3A =32+33 +34+. ..+ 32015 3A – A = 32015 -3 A = 32015-32 
1đ
1b
Ta có : 2. 32015-32 +3 = 3x => 
 32015 -3 +3 = 3x => 32015 = 3x => x = 2015 
1đ
2
S = 
 => S > (1) 
S= 
=> S < (2) 
Từ (1) và (2) => 1 < S < 2
1 đ
1 đ
III
X2 + 45 = y2 => y2 > 45. Do đó y là số nguyên tố lẻ
Suy ra x là số nguyên tố chẵn nên x = 2. Từ đó ta có: 
y2 = 4 + 45 suy ra y2 = 49 => y = 7
2đ 
IV
a
Cho xOy và yOz là hai góc kề bù thoả mãn
 xOy = 54yOz. 
Tính số đo các góc xOy và yOz.
Vẽ hình đúng
0,5đ
Lập luận xOy + yOz = 1800
 0,5đ 
Mà xOy = 54yOz => 54yOz + yOz = 180o
0,5đ
94yOz = 1800 => yOz = 800 => xOy =1000 
0,5đ
b
Trường hợp tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Oz bờ là đường thẳng chứa tia Oy thì tia Ot trùng với tia Oz 
( do tOy = yOz = 800 ) nên tia Oy không là tia phân giác của tOy 
Trường hợp tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Ox bờ là đường thẳng chứa tia Oy thì tia Oy nằm giữa 2 tia Oz và Ot mà tOy = yOz (= 800 ) nên tia Oy là tia phân giác của tOy
V
Từ 1; 2; ; n có n số hạng
Suy ra 1 +2 ++ n = 
Mà theo bài ra ta có 1 +2 +3+..+n = 
Suy ra = = a . 111 = a . 3.37 
Suy ra: n (n+1) = 2.3.37.a
Vì tích n(n+1) Chia hết cho số nguyên tố 37 nên n hoặc n+1 Chia hết cho 37
Vì số có 3 chữ số Suy ra n+1 < 74 n = 37 hoặc n+1 = 37
+) Với n= 37 thì 	 ( loại)
+) Với n+1 = 37 thì 	( thoả mãn)
Vậy n =36 và a=6 Ta có: 1+2+3+..+ 36 = 666
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ