Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 10 năm 2017 - Trường THPT Hải An

SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 NĂM 2017
 TRƯỜNG THPT HẢI AN Môn thi: TOÁN
 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề 
 ----------------—˜&™– ----------------
Câu 1 (2,0 điểm)
1) Giải bất phương trình: 
2) Tìm các giá trị của để bất phương trình nghiệm đúng với .
Câu 2 (2,0 điểm)
1) Giải phương trình: 
2) Giải hệ phương trình: 
Câu 3 (2,0 điểm) 
1) Chứng minh rằng với mọi DABC ta luôn có: 
2) Chứng minh rằng với ta luôn có:: 
Câu 4 (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho DABC với A(3; 2) , B(5;-2) , C(1; 1)
1) Viết phương trình tổng quát của đường cao AH của DABC.
2) Viết phương trình đường tròn (E) có tâm là A và tiếp xúc với đường thẳng BC.
3) Cho số thực . Tìm tọa độ các điểm M trên trục hoành sao cho véctơ có độ dài nhỏ nhất.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho các số thực thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
------------------------------Hết------------------------------
 (Học sinh không sử dụng tài liệu, giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: 	Giám thị số 1:
Số báo danh:. 	 Giám thị số 2:...
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 NĂM 2017
Câu
Sơ lược đáp án
Điểm
1.1
(1đ)
4x0,25
1.2
(1đ)
·TH1: Với m = 1 thì BPT có dạng không thỏa mãn ycbt
0,25
·TH2: Với thì ycbt 
3x0,25
2.1
(1đ)
 ĐK:ÞPT
0,5
· Xét PT (*): Nếu x = 1: VT(*) = 2 = VP(*) nên x = 1 là một nghiệm của (*)
Nếu x > 1 thì VT(*) 2 > VP(*)
Vậy (1) có 2 nghiệm x = 0; x = 1
0,5
2.2
(1đ)
Đặt .
Hệ trở thành: 
0,5
·Với ta có hệ .
·Với ta có hệ .
·Với ta có hệ .
Kết luận: Hệ có 5 nghiệm .
0,5
3.1
(1đ)
4x0,25
3.2
(1đ)
4x0,25
4.1
(1đ)
Đường cao AH có VTPT là: 
0,5
 PTTQ của đường cao AH là: 
2x0,25
4.2
(1đ)
Đường thẳng BC: Đường tròn (E) có bán kính: 
2x0,25
Đường tròn (E): 
0,5
4.3
(1đ)
Gọi G là trọng tâm DABC và I là trung điểm của GC. Ta có: và 
0,5
0,5
5
(1đ)
Ta có: 
Xét , , . 
Ta có . 
0,25
Mà nên (Côsi)
0,5
Vậy đạt được chẳng hạn khi .
0,25