Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 7 - Năm học 2016-2017 (Có đáp án)

 Toỏn 7 
 Kỳ thi chọn thi HSG - năm học 2016-2017
 Thời gian : 12o phỳt .
Bài 1.(2 điểm) 
 Từ điểm O tùy ý trong tam giác ABC, kẻ OM, ON , OP lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, Ab. Chứng minh rằng:
AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2
 Bài 2 :Ba phân số có tổng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5, các mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2. Tìm ba phân số đó.
 Bài 3 : Chứng minh rằng: .
 Bài 4 : : Tìm x biết: 
 	 a, ++++=0 
b, Chứng minh rằng mọi số nguyên dương n thì: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hết cho 10
c, Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2;3;4. Hỏi ba chiều cao tương ứng ba cạnh đó tỉ lệ với số nào?
 Bài 5 : Tìm đa thức bậc hai sao cho : .
	 áp dụng tính tổng : S = 1 + 2 + 3 +  + n.
 Bài 6 : Chứng minh rằng là một số tự nhiên.
 Bài 7 . Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức A= Có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị đó.
 Bài 8: Cho tam giác cân ABC, AB=AC. Trên cạnh BC lấy điểm D. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N. Chứng minh:
	a. DM= EN
	b. Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN.
	c. Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên BC.
 Bài 9 : a, Hãy so sánh A và B, biết:	 	A=.
 b,	Thực hiện phép tính:
	 A= 
 c, 	Tìm các số x, y nguyên biết rằng:	
H-dẫn giải
Bài 1: áp dụng định lí Pi ta go vào tam giác vuông NOA và NOC ta có:
AN2 =OA2 – ON2; CN2 = OC2 – ON2 ị CN2 – AN2 = OC2 – OA2 (1) ( 0, 5 điểm)
Tương tự ta cũng có: AP2 - BP2 = OA2 – OB2 (2); MB2 – CM2 = OB2 – OC2 (3) ( 0, 5 điểm)
Từ (1); (2) và (3) ta có: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 ( 0, 5 điểm).
Bài 2 : Các phân số phải tìm là: a, b, c ta có : a + b + c = 
và a : b : c = (1đ) => 	
Bài 3: ; ; ..; .
 Vậy: 
Bài 4 :a, 
 ...... 
 b, Ta có (0,5đ)
 ................. (0,5đ)
 c, Gọi độ dài 3 cạnh là a , b, c, 3 chiều cao tương ứng là x, y, z, diện tích S 
 vậy x, y, z tỉ lệ với 6 ; 4 ; 3 
Bài 5:-Dạng tổng quát của đa thức bậc hai là : (a0).
Ta có : .
Vậy đa thức cần tìm là : (c là hằng số).
áp dụng :
+ Với x = 1 ta có : 
+ Với x = 2 ta có : 
.
+ Với x = n ta có : 
S = 1+2+3++n = = .
Lưu ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Bài hình không vẽ hình không chấm điểm.
Bài 6 : Để là số tự nhiên Û 102006 + 53 9 (0,5đ)
Để 102006 + 53 9 Û 102006 + 53 có tổng các chữ số chia hết cho 9
mà 102006 + 53 = 1+ 0 +0 +.........+ 0 + 5+3 = 9 9
102006 + 53 9 hay là số tự nhiên 
Bài 7 :A = A lớn nhất lớn nhất ; Xét x > 4 thì < 0 
 Xét 4 0 A lớn nhất 4 - x nhỏ nhất x = 3 
Bài 8:
a/∆ MDB=∆ NEC suy ra DM=EN 
b/∆ MDI=∆ NEI suy ra IM=IN suy ra BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN 
c/ Gọi H là chân đường cao vuông góc kẻ từ A xuống BC ta có ∆ AHB=∆ AHC suy ra HAB=HAC 
gọi O là giao AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I thì
∆ OAB=∆ OAC (c.g.c) nên OBA = OCA(1) 
∆ OIM=∆ OIN suy ra OM=ON 
suy ra ∆ OBN=∆ OCN (c.c.c) OBM=OCM(2) 
Từ (1) và (2) suy ra OCA=OCN=900 suy ra OC ┴ AC 
Vậy điểm O cố định.
Bài 9 
a, Ta có: 	10A = 	(1)
 Tương tự: 10B = (2)
 Từ (1) và (2) ta thấy : 10A > 10BA > B .
b,	Thực hiện phép tính:
 	A = 
 = 	 (1)
Mà: 2007.2006 - 2 = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008
= 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005	(2)
Từ (1) và (2) ta có:
A = 
c,	Từ:	
Quy đồng mẫu vế phải ta có :. Do đó : y(x-2) =8.
Để x, y nguyên thì y và x-2 phải là ước của 8. Ta có các số nguyên tương ứng cần tìm trong bảng sau:
Y
1
-1
2
-2
4
-4
8
-8
x-2
8
-8
4
-4
2
-2
1
-1
X
10
-6
6
-2
4
0
3
1