Đề thi học sinh giỏi môn Toán học lớp 9 năm 2017

Bài 1: ( 2,5 điểm)
a. Cho: 
 - Thực hiện rút gọn A. 
 - Tìm x nguyên để A nguyên.
b. Chứng minh: a + b = c thì a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2
Bài 2: ( 1,5 điểm)
	a. Chứng minh: a2 + b2 + c2 ³ ab + ac + bc với mọi số a, b, c.
	b. Chứng minh với mọi số dương a, b, c.
Bài 3: (1,5 điểm)
	Giải phương trình: 
Bài 4: (3,0 điểm)
	Cho hình vuông ABCD. M là điểm trên đường chéo BD. Hạ ME góc với AB và MF vuông góc với AD.
a. Chứng minh DE ^ CF; EF = CM
	b. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui.
	c. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất..
Bài 5: (1,5 điểm)
	Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân giác. Đường thẳng qua trung điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F.
Chứng minh BF = CE.
Bài 1: ( 2,5 điểm)
Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2
A nguyên khi và chỉ khi nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1 
Þ x=3, hoặc x=1.
Đặt P = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 -2 b2c2 - 2a2c2 
 = (a2 + b2 + c2 )2 - 4a2b2 - 4b2c2 - 4a2c2
Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
 = (2a2 + 2b2 + 2ab )2 - 4(a2b2 + b2c2 + a2c2) 
 = 4[(a2 + b2 + ab)2 - a2b2 - c2(a2+b2)]
Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
 = 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab + a2b2 - a2b2 -(a+b)2 (a2+b2)]
 = 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab -(a+b)2(a2+b2)]
 = 4(a2+b2)[ (a2+b2) +2ab -(a+b)2]
 = 0 Þ a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2
Bài 2: ( 1,5 điểm)
Û 2(a2 + b2 + c2 )³ 2(ab + ac + bc)
Û 2a2 + 2b2 + 2c2 -2ab -2ac - 2bc ³ 0
Û (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2 ³ 0
Bất đẳng thức cuối luôn đúng (Do (a-b)2 ³ 0 ) nên có đpcm
Û
Nhân hai vế với số dương abc được:
Û 
Áp dụng a) cho ba số ab, bc, ca ta có: Þ đpcm
Bài 3: (1,5 điểm)
Û
Û
ÛÛ
Û
Û (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)
Û (5x+16)(x2 +10x + 24) = (5x+24)( x2 +10x + 16)
Û 5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24 
 = 5x3 + 50x2 + 80x + 24x2 + 240x + 24.16
Û 8x2 + 40x = 0
Û 8x(x + 5) = 0
 x = 0; x = -5
Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm
A
B
C
D
M
E
F
Bài 4: (3,0 điểm)
Câu a: 1,25 điểm
DF = AE Þ DDFC = DAED
Þ ADE = DCF 
Þ EDC + DCF = EDC + ADE 
 EDC + ADE = 900 nên DE ^ CF
MC = MA (BD là trung trực của AC)
MA = FE nên EF = CM
Câu b: 1,0 điểm
Þ DMCF =DFED Þ MCF = FED
Từ MCF = FED chứng minh được CM ^ EF
Tương tự a) được CE ^ BF
ED, FB và CM trùng với ba đường cao của DFEC nên chúng đồng qui.
Câu c: 0,75 điểm
ME + MF = FA + FD là số không đổi.
Þ ME.MF lớn nhất khi ME = MF
Lúc đó M là trung điểm của BD
Bài 5: (1,5 điểm)
Trong DBMF có AD//MF nên:
A
B
C
D
M
E
F
Trong DCAD có AD//ME nên:
Chia vế theo vế được:
 (BM=CM)
AD là phân giác nên:
Thay vào trên được: