Đề thi học sinh giỏi môn: Toán học 8

PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
TĨNH GIANĂM HỌC 2016 – 2017
 Mụn thi : Toỏn học 8
 Thời gian: 120 phỳt khụng kể thời gian phỏt đề
Cõu 1:(4 điểm) Cho biểu thức:
A = 
a) Rỳt gọn A.
b) Tìm x để A ³ 0.
Cõu 2:(4,0 điểm)
	a) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử: x(x - 7) - 36x 
 b) Giải phương trỡnh sau :
Cõu 3 :(4 điểm)
a) Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn 
b) Cho là cỏc số tự nhiờn cú tổng bằng . 
Chứng minh rằng: chia hết cho 3
Cõu 4 : (6,0 điểm)
1) Cho DABC đều,H là trực tõm, đường cao AD. M là một điểm bất kỡ trờn cạnh BC. Gọi E,F lần lượt là hỡnh chiếu của M trờn AB, AC. Gọi I là trung điểm của AM; ID cắt EF tại K.
a)Chứng minh: DEIF là hỡnh thoi.
b)Chứng minh: Ba điểm M,H,K thẳng hàng.
2) Cho hỡnh bỡnh hành ABCD.Trờn cạnh AB và BC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho AN = CM.Gọi K là giao điểm của AN và CM. CMR: KD là tia phõn giỏc của gúc AKC 
Cõu 5(2,0 điểm)
 Cho 2 số dương a,b thỏa món a+bÊ 1.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
M = + + + 
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
 TĨNH GIA Năm học 2016- 2017
 ĐỀ CHÍNH THỨC
 Mụn: Toỏn 8
 Thời gian làm bài: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Bài 1 (4 điểm)
Cho biểu thức A = với x khỏc -1 và 1.
a, Rỳt gọn biểu thức A.
b, Tớnh giỏ trị của biểu thức A tại x .
c, Tỡm giỏ trị của x để A < 0.
Bài 2 (4 điểm)
1)Giải phương trỡnh
2)Tỡm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho dư 10, f(x) chia cho dư 24, f(x) chia cho được thương là và cũn dư. 
Bài 3 (4 điểm)
1. Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món 
 2. Tỡm số nguyờn a sao cho là số nguyờn tố 
Bài 4 (6 điểm)
 Cho hỡnh vuụng ABCD, M là một điểm tuỳ ý trờn đường chộo BD. Kẻ MEAB, MFAD.
a. Chứng minh: 
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xỏc định vị trớ của điểm M để diện tớch tứ giỏc AEMF lớn nhất.
Bài 5(2 điểm)
 Cho cỏc số a, b thỏa món hệ thức sau :a3-3a2+5a-2017 =0
,b3-3b2+5b +2011=0
 Hóy tớnh : .	
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
 TRƯỜNG THCS HAI HÀ MễN: TOÁN 8
 NĂM HỌC: 2016-2017
Thời gian: 120 phút ( khụng kờ̉ thời gian giao đờ̀)
Bài 1: ( 1,5 điờ̉m) 
Thực hiợ̀n phép tính:
a) 216 – ( 2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)
b) ( 2x3 – 26x – 24) : ( 2x – 8)
c)
Bài 2: ( 2 điờ̉m) 
Phõn tích các đa thức sau thành nhõn tử:
a) (xy + 1)2 – 2(x + y)2
b) 3x2 + 11x + 6
c) x2 + 2xy + y2 – 3x – 3y – 10
Bài 3: (2 điờ̉m)
a) Xác định các hợ̀ sụ́ a và b sao cho đa thức 2x3 + ax + b chia cho x + 1 dư -6, chia cho 
x – 2 dư 21
b) Tìm giá trị nhỏ nhṍt của biờ̉u thức 
Bài 4 :(1 điờ̉m) 
Cho 3a2 + b2 = 4ab. Tính giá trị của biờ̉u thức 
Bài 5: ( 2,5 điờ̉m)
 Cho hình chữ nhọ̃t ABCD, H và I lõ̀n lượt là hình chiờ́u của B và D trờn AC, gọi M, O, K lõ̀n lượt là trung điờ̉m của AH, HI và CD.
a) Chứng minh: B và D đụ́i xứng qua O
b) Chứng minh: BM MK
Bài 6: ( 1 điờ̉m) 
Cho hình bình hành ABCD. M là mụ̣t điờ̉m bṍt kì trờn cạnh CD. AM cắt BD ở O. Chứng minh rằng: SABO = SDMO + SBMC
---------------Hờ́t--------------
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
 TRƯỜNG THCS HAI HÀ MễN: TOÁN 8
 NĂM HỌC: 2016-2017
ĐÁP ÁN
ĐIấ̉M
Bài 1
( 1,5 đ)
(Mụ̃i ý 0,5 đ) 
a) 216 – ( 2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)
 =216 – (2 – 1)( 2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)
 =216 – ( 22 - 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)
 =216 – (24 - 1)(24 + 1)(28 + 1)
 =216 – (28 - 1)(28 + 1)
 =216 – (216 - 1)
 = 1
0,125 đ
0,125 đ
0,125 đ
0,125 đ
b) ( 2x3 – 26x – 24) : ( 2x – 8)
Đặt phép chia:
Vọ̃y: ( 2x3 – 26x – 24) : ( 2x – 8) = x2 + 4x + 3
0,25 đ
0,25 đ
0,125đ
0.125đ
0,25đ
Bài 2: 
( 2 đ) 
a) (xy + 1)2 – 2(x + y)2
=( xy + 1)2 - 
 =[ xy + 1 + .(x + y)].[xy + 1 - .(x + y)]
0,25 đ
0,25 đ
b) 3x2 + 11x + 6
 = (3x2 + 9x )+ (2x + 6)
 = 3x( x + 3) + 2(x + 3)
 = (x+ 3)(3x + 2)
0,25đ
0.25đ
0,25đ
c) x2 + 2xy + y2 – 3x – 3y – 10
 = (x2 + 2xy + y2 ) – (3x + 3y) – 10
 =( x + y)2 – 3(x + y) – 10
 =[ ( x + y)2 + 2(x + y)] – [5(x + y) + 10]
 =(x + y) (x + y + 2) – 5(x + y + 2)
 =(x + y + 2)(x + y – 5)
0,125 đ
0,125 đ
0,25 đ
0,25 đ
Bài 3: 
(2 đ)
a) Đa thức 2x3 + ax + b chia cho x + 1 dư -6 => - a + b = -4 (1)
 Đa thức 2x3 + ax + b chia cho x - 2 dư 21 => 2a + b = 5 (2)
Từ (1) và (2), suy ra a = 3; b= -1
0,25đ
0,25đ
0,5đ
PHềNG GDDT TĨNH GIA
TRƯỜNG THCS LƯƠNG CHÍ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
MễN: TOÁN 8
Năm học: 2016-2017
Thời gian làm bài: 120 phỳt
Cõu I (4,0 điểm) Cho biểu thức 
 a) Tỡm điều kiện xỏc định và rỳt gọn P
 b) Tỡm x để 
 c) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P khi x > 1
Cõu II (4,0 điểm)
1. Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử:
 (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.
2. Giải phương trỡnh : 
Cõu III (4,0 điểm) 
 1. Tỡm cỏc nghiệm nguyờn của phương trỡnh: 
 2. Chứng minh rằng: Nếu 2n + 1 và 3n + 1 (n ẻ N) đều là cỏc số chớnh phương thỡ n chia hết cho 40.
Cõu IV (6,0 điểm) 
	 Cho hỡnh vuụng ABCD cú AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC 
(M khỏc B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N . Trờn cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
Chứng minh : ∆OEM vuụng cõn. 
Chứng minh : ME // BN.
Từ C kẻ CH BN ( H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Cõu V: (2,0 điểm) Cho là ba số dương thoả món . Chứng minh rằng :
	 .
................................. HẾT ....................................
 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI 
Mụn thi: Toỏn 8
Năm học: 2016– 2017
Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Cõu 
í 
Đỏp ỏn
Điểm
Cõu 1( 4 điểm)
 1( 4 điểm)
a
2
đ
 ĐKXĐ : 
Khụng cú đk x-1 trừ 0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b
1
đ
 với ĐKXĐ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
 ( TM ĐKXĐ)
Hoặc x = - 1 ( khụng TM ĐKXĐ)
(Nếu khụng loại x = - 1 trừ 0,25 điểm )
Vậy 
0,25đ
c
1
đ
0,25đ
0,25đ
Vỡ x > 1 nờn và > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương x – 1 và ta cú: 
0,25đ
Dấu “ = “ xẩy ra khi x – 1 = 
( x – 1)2 = 1 
 x – 1 = 1 ( vỡ x – 1 > 0 )
x = 2 ( TM )
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là 4 khi x = 2
0,25đ
Cõu 2( 4 điểm)
a
2
đ
(x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = 	
0.5đ
= 
0.5đ
= = 3
0.5đ
= 3. 
0.5đ
b
2
đ
x2+9x+20 = ( x+4)( x+5) ;
 x2+11x+30 = ( x+6)( x+5) ;
 x2+13x+42 = ( x+6)( x+7) ;	 (0,25 điểm)
 ĐKXĐ : 
0,5đ
Phương trỡnh trở thành : 
0,5đ
Suy ra: 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
 (x+13)(x-2)=0
0,5đ
 Từ đú tỡm được x=-13; x=2 ( Thỏa món ĐKXĐ)
0,5đ
 Cõu 3(4,0 điểm)
CC
a
2
đ
Thờm xy vào hai vế:
0,5đ
 Ta thấy xy và xy + 1 là hai số nguyờn liờn tiếp, cú tớch là một số chớnh phương nờn tồn tại một số bằng 0.
0,5đ
 Xột xy = 0. Từ (1) cú nờn x = y = 0
Xột xy + 1 = 0. Ta cú xy = -1 nờn (x , y) = (1 ; -1) hoặc (-1 ; 1)
0,5đ
 Thử lại, ba cặp số (0 ; 0), (1 ; -1), (-1 ; 1) đều là nghiệm của phương trỡnh đó cho.
0,5đ
b
2
đ
b) (2,0 điểm) Do 2n + 1 là số chớnh phương lẻ nờn 2n + 1 chia cho 8 dư 1, suy ra n là số chẵn.
0,25đ
Vỡ 3n + 1 là số chớnh phương lẻ nờn 3n + 1 chia cho 8 dư 1, suy ra 
3n 8 ị n 8 (1)
0,5đ
Do 2n + 1 và 3n + 1 đều là số chớnh phương lẻ nờn cú tận cựng bằng 
1; 5; 9 do đú khi chia cho 5 thỡ cú dư là 1; 0; 4 
0,25đ
	Mà (2n + 1) + (3n + 1) = 5n + 2 , do đú 2n + 1 và 3n + 1 khi chia cho 5 đều dư 1. Suy ra 2n 5 và 3n 5 ị n 5 (2)
0,5đ
Từ (1) và (2) ị n BCNN(5; 8) hay n 40	
0,5
Cõu 4( 6 điểm)
Hỡnh vẽ
a
3
đ
Xột ∆OEB và ∆OMC
0,25đ
Vỡ ABCD là hỡnh vuụng nờn ta cú OB = OC 
0,5đ
 Và 
0,5đ
 BE = CM ( gt )
0,25đ
Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c)	
0,25đ
 OE = OM và 
0,5đ
Lại cú vỡ tứ giỏc ABCD là hỡnh vuụng
0,25đ
 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuụng cõn tại O
0,5đ
b
2đ
Từ (gt) tứ giỏc ABCD là hỡnh vuụng AB = CD và AB // CD
0,5đ
+ AB // CD AB // CN ( Theo ĐL Ta- lột) (*)
0,5đ
Mà BE = CM (gt) và AB = CD AE = BM thay vào (*)
0,5đ
Ta cú : ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lột)
0,5đ
c
1đ
Gọi H’ là giao điểm của OM và BN
Từ ME // BN ( cặp gúc so le trong)
Mà vỡ ∆OEM vuụng cõn tại O
∆OMC ∆BMH’ (g.g)
0,25đ
 ,kết hợp ( hai gúc đối đỉnh)
0,25đ
∆OMB ∆CMH’ (c.g.c) 
0,25đ
Vậy 
Mà CH BN ( H BN) H H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm)
0,25đ
Cõu 5 ( 2 điểm)
Trước tiờn ta chứng minh BĐT: Với a, b, c R và x, y, z > 0 ta cú
 (*)
Dấu “=” xảy ra 
Thật vậy, với a, b R và x, y > 0 ta cú 
 (**)
 (luụn đỳng)
Dấu “=” xảy ra 
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta cú
Dấu “=” xảy ra 
0,75đ
Ta cú: 
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta cú 
 (Vỡ ) 
0,5đ
 Hay 
0,25đ
Mà nờn 
0,25đ
Vậy (đpcm)
0,25đ
Lưu ý : Học sinh làm cỏch khỏc mà đỳng vẫn cho điểm tối đa
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 TĨNH GIA NĂM HỌC 2016 – 2017
 Mụn thi : Toỏn học 8
 Thời gian: 150 phỳt khụng kể thời gian phỏt đề
Cõu 1: (4 điểm) Cho biểu thức:
 A = 
a) Rỳt gọn A.
b) Tìm x để A ³ 0.
Cõu 2: (4,0 điểm)
 	 a) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử: x(x - 7) - 36x 
 b) Giải phương trỡnh sau : 
Cõu 3 : (4 điểm)
 a) Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh x2+(x+y)2 = (x+9)2
b) Chứng minh rằng: B = n - 14n + 49n - 36n luụn chia hết cho 210 với mọi n ẻ Z 
Cõu 4 : (6,0 điểm) 
1) Cho DABC đều,H là trực tõm, đường cao AD. M là một điểm bất kỡ trờn cạnh BC. Gọi E,F lần lượt là hỡnh chiếu của M trờn AB, AC. Gọi I là trung điểm của AM; ID cắt EF tại K.
 a)Chứng minh: DEIF là hỡnh thoi.
 b)Chứng minh: Ba điểm M,H,K thẳng hàng.
2) Cho hỡnh bỡnh hành ABCD.Trờn cạnh AB và BC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho AN = CM.Gọi K là giao điểm của AN và CM.
 CMR: KD là tia phõn giỏc của gúc AKC 
Cõu 5 (2,0 điểm)
 Cho 2 số dương a,b thỏa món a+bÊ 1.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
 M = + + + 
HƯỚNG DẪN CHẤM
Toỏn 8
Cõu
ý
Đỏp ỏn và hướng dẫn chấm
Điờ̉m
1
a
(2đ)
 ĐKXĐ: x≠ ± 2; x≠ 0 ;x ≠ 1
 A= 
 = 
 = 
 = 
 Vậy A = 
0.25đ
0.25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
b
(2đ)
 A ³ 0 Û ³ 0
 Û 
 Û 
 Û 
Kết hợp với đk x ≠ 0 thỡ với 0 < x < 1 thỡ A ³ 0
0.25đ
0.25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2
a
(2đ)
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
b
(2đ)
 ĐKXĐ: x≠ -1;-4;-6;3
Û x = 0 hoặc x = 2 (thỏa món điền kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trỡnh: S = 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
3
a
(2đ)
(x+y)2- 18x = 81
(x+y)2 -18(x+y)+81 = 162 – 18y
(x+y-9)2 = 9(18 - 2y) (1)
Suy ra 18 – 2ylà số chớnh phương chẵn nhỏ hơn 18( Vỡ y>0)
.18-2y = 0suy ra y = 9.Từ (1) x= 0(Loại)
.18-2y = 4 suy ra y =7.Từ (1) x=8
.18-2y=16 suy ra y=1. Từ(1) x=20
Thửlại phương trỡnh cúhai cặp nghiệm nguyờn dương là: (8;7) và (20;1)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25 đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b
(2đ)
Ta cú: B= n - 14n + 49n - 36n = n(n - 7) - 36n 
 B = 
Do đú: B là tớch của 7 số nguyờn liờn tiếp
 ị B2; B3 ; B5 ;B7
 Mà cỏc số 2;3;5;7 đụi một nguyờn tố cựng nhau 
ị B(2.3.5.7) hay B 210 Với mọi n ẻ Z
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
4
1
a)
(2đ)
DEMA vuụng tại E cú EI là đường trung tuyến
 ị EI=IM=IA= AM
 ị DIAE cõn tại I ịGúc EIM = 2 gúc EAI (Gúc ngoài của tam giỏc)
 Tương tự: Gúc MID = 2gúc IAD và DI = AM
 Suy ra: EI = DI và gúc EID = 600 
 ị DIED đều ị EI=ED=ID
CMTT ta cú: DIDF đều ị ID=DF=IF 
 ị DEIF hỡnh thoi 
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0,25đ
b
(2đ)
Vỡ DEIF hỡnh thoi ị K là trung điểm của EF và ID
 Gọi N là trung điểm của AH
Do DABC đều cú H là trực tõm ị H là trọng tõm
 ị AN=NH=HD
 CM : NI //MH
 và NI // KH theo tiờn đề Ơclit
 MH º KH hay: M,H,K thẳng hàng
0.25đ
0,25đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0,25đ
4
2)
(2đ)
Kẻ DI^ AK ; DJ ^ CK
 Ta cú: SAND = AN.DI = SABCD (1)
 (do chung đỏy AD,cựng đườngcao hạ từ N )
 SCDM = CM.DJ = SABCD (2)
 (do chung đỏy CD,cựng đườngcao hạ từ M )
Từ (1) và (2) suy ra: AN.DI = CM.DJ
 ị DI = DJ (do AN = CM)
 CM: DDIK = DDJK ị Gúc IKD = Gúc JKD 
 ị KD là tia phõn giỏc của gúc AKC 
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0,25đ
5
(2đ)
 Ta cú: + ³ Û ³ (*)
(x+y) ³ 4xy (vỡ x > 0 ; y > 0)
(x-y) ³ 0 (Đỳng)
 Vậy + ³ 
0,25đ
0,25đ
Từ (*) ị ³ 
Với a,b >0 nờn ta ỏp dụng bất đẳng thức ở cõu a ta cú:
 Dấu bằng xảy ra Û 
 Vậy Min M = 10 Û 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 - 2017
Mụn: Toỏn 
Thời gian làm bài 120 phỳt
(Đề thi gồm 01 trang)
Bài 1: (4,0 điểm)
	Cho biểu thức B = (với x )
1) Rỳt gọn biểu thức B.
2) Tỡm giỏ trị của x để B < 0.
3) Tớnh giỏ trị của biểu thức B với x thỏa món: 
Bài 2: (4,0 điểm)
Giải phương trỡnh: 
Chưng minh rằng nếu đa thức x4-4x3+5ax2-4bx+c chia hết cho x3+3x2-9x-3 thỡ a+b+c=0
Bài 3(4,0điểm
Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn: 2x2 + 3xy – 2y2 = 7
 Tỡm số tự nhiờn x sao cho x2+2x +200 là một số chỡnh phương
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
 	1) Chứng minh: EA.EB = ED.EC.
 	2) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD+CM.CA cú giỏ trị khụng đổi.
 	3) Kẻ. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh .
Bài 5: (2,0 điểm)
	Cho hai số thực dương x, y thỏa món . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = 
PHềNG GD&ĐT
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016-2017
Mụn: Toỏn
Bài
Nội dung chớnh
Điểm
1
(4,0đ)
1) Với x thỡ:
0,5
1,0
0,5
2) Với x thỡ B < 0 khi và chỉ khi (1)
Vỡ với mọi x nờn (1) xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy B 1
0,25
0,5
0,25
3) Với x = -1; x = 9
Tại x = -1 khụng thỏa món điều kiện x 	
Tại x = 9 thỏa món điều kiện x . Tớnh được B = - 656
0,5
0,25
0,25
2a
(2,0đ)
2b
(2.0)
1) 
Ta thấy x = 0 khụng là nghiệm của PT. Chia cả hai vế của phương trỡnh cho x2 0, ta được 
Đặt = y thỡ = y2 – 2, ta được PT: y2 + 3y + 2 = 0 (*)
 Giải (*) được y1= -1 ; y2 = -2
Với y1= -1 ta cú = -1 nờn x2 + x + 1 = 0. PT vụ nghiệm
Với y1= -2 ta cú = -2 nờn , do đú x = -1
Vậy S= 
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
x4-4x3+5ax2-4bx+c =(x3+3x2-9x-3)(x+m)
 =x4+(3+m)x3+(3m-9)x2-(9m+3)x-3m
Suy ra m+3=-4 m=-7
 3m-9=5a a=-6
 9m+3=4bb=-15
 -3m=c c=21
Vay a+b+c=-6-15+21=0
0,25
0,5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
3a
( 2đ )
2) Ta cú 2x2 + 3xy – 2y2 = 7
Vỡ x, y nguyờn nờn 2x-y, x+2y nguyờn và là ước của 7
Mà 7 = 1.7 = (-1).(-7) = 7.1 = (-7).(-1)
Ta cú bảng sau:
2x-y
1
-1
7
-7
x+2y
7
-7
1
-1
x
1,8(loại)
-1,8(loại)
3
-3
y
2,6(loại)
-2,6(loại)
-1
1
Vậy nghiệm của phương trỡnh là 
0,5
0,5
0,75
0,25
Giả sử x2+2x +200 =a2 (a>14)
a2-(x+1)2=199
(a+x+1)(a-x-1)=199.1
Vỡ a+x+1>a-x-1 nờn x=198
Vậy với x=198 thỡ x2+2x +200 là một số chỡnh phương
0.5
0.5
0.5
0,5
b(2đ)
4
(6,0đ)
 1) Chứng minh EA.EB = ED.EC	
- Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (g-g)	
- Từ đú suy ra 	
0,5
0,5
 2) Kẻ MI vuụng gúc với BC (. Ta cú BIM đồng dạng với BDC (g-g)
 (1)
Tương tự: ACB đồng dạng với ICM (g-g) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (khụng đổi)
0,5
0,5
0,5
3) Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (g-g) 	
- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (c-g-c) 
mà 
0,5
0,25
0,5
0,25
5
( 2đ )
Ta cú	Q = 
Ta cú 
 Dấu “=” xảy ra khi ( Vỡ x > 0)
. Dấu “=” xảy ra khi ( Vỡ y > 0)
 (gt). Khi; thỡ dấu “=” xảy ra
=> 
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của Q là 19 khi 
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
Nếu học sinh cú cỏch giải khỏc đỏp ỏn mà đỳng thỡ cho điểm tương đương
DỰ KIẾN CÁC MỨC ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Mụn: Toỏn 8
Thời gian làm bài: 120 phỳt
GV ra đề: Nguyễn Thị Thanh – THCS Tõn Dõn
A.Đề bài
Cõu 1 (4 điểm) : Cho biểu thức A = 
	a) Rỳt gọn biểu thức A
	b) Chứng minh rằng giỏ trị của A luụn dương với mọi x ≠ - 1
Cõu2.(4 điểm) a. Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử
b. Giải phương trỡnh: 
Cõu 3 : (4 điểm)
 a) Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh x2+(x+y)2 = (x+9)2
b) Chứng minh rằng: B = n - 14n + 49n - 36n luụn chia hết cho 210 với mọi n ẻ Z 
Cõu4 (6 điểm): 1.Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường phõn giỏc AD. Vẽ hỡnh vuụng MNPQ cú M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN và MQ; CM và NP. Chứng minh rằng:
a) DE song song với AC
b) DE =DF; AE =AF.
2) Cho hỡnh bỡnh hành ABCD.Trờn cạnh AB và BC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho AN = CM.Gọi K là giao điểm của AN và CM.
 CMR: KD là tia phõn giỏc của gúc AKC 
Cõu5 (2 điểm): Chứng minh bất đẳng thức: Với 
B. HƯỚNG DẪN CHẤM 
MễN: Toỏn 8
Cõu
Đỏp ỏn
Thang điểm
1a/
2đ
b/2đ
a/ ĐK: x ≠ - 1 
 A = = 
 = 
b/ Với mọi x ≠ - 1 thì A = = 
Vì 
0,25
0,5
0,75
1,0
1,0
2
a/2đ
b/2đ
a/ ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
 	= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
 	= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
 	= (x2 + 7x + 11)2 - 52
 	= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
 	= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
b. (*)
Vỡ x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0	 	
(*) (x - 5)(x + 6) = 0 
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
3
a/
2đ
b/2đ
a/(x+y)2- 18x = 81
(x+y)2 -18(x+y)+81 = 162 – 18y
(x+y-9)2 = 9(18 - 2y) (1)
Suy ra 18 – 2ylà số chớnh phương chẵn nhỏ hơn 18( Vỡ y>0)
.18-2y = 0suy ra y = 9.Từ (1) x= 0(Loại)
.18-2y = 4 suy ra y =7.Từ (1) x=8
.18-2y=16 suy ra y=1. Từ(1) x=20
Thửlại phương trỡnh cú hai cặp nghiệm nguyờn dương là: (8;7) và (20;1)
b/Ta cú: B= n - 14n + 49n - 36n = n(n - 7) - 36n 
 B = 
Do đú: B là tớch của 7 số nguyờn liờn tiếp
 ị B2; B3 ; B5 ;B7
 Mà cỏc số 2;3;5;7 đụi một nguyờn tố cựng nhau 
ị B(2.3.5.7) hay B 210 Với mọi n ẻ Z
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
4
1.
a/
1.5đ
b/
2,5đ
a/ Vẽ hỡnh
a) Chứng minh được:
	 hay 
b) Do nờn (1)
Tương tự, 
Từ (1) và (2) suy ra 
Mà và 
Nờn 
Ta cú 	 AE =AF
1
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
2.
2đ
Kẻ DI^ AK ; DJ ^ CK
 Ta cú: SAND = AN.DI = SABCD (1)
 (do chung đỏy AD,cựng đườngcao hạ từ N )
 SCDM = CM.DJ = SABCD (2)
 (do chung đỏy CD,cựng đườngcao hạ từ M )
Từ (1) và (2) suy ra: AN.DI = CM.DJ
 ị DI = DJ (do AN = CM)
 CM: DDIK = DDJK ị Gúc IKD = Gúc JKD 
 ị KD là tia phõn giỏc của gúc AKC 
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0,5đ
5
2đ
Gọi vế trỏi là A, ta cú:
Vậy 
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
III. Đề Bài
Bài 1 ( 4,0 điểm) Cho biểu thức 
 a) Tỡm điều kiện xỏc định và rỳt gọn P
 b) Tỡm x để 
Bài 2:(4 điểm)
 a. Giải phương trình: + + = 
b. Tỡm đa thức biết: chia cho dư 5; chia cho dư 7; chia cho được thương là và đa thức dư bậc nhất đối với .
Bài 3: (4.0 điểm)
a. Cho là cỏc số tự nhiờn cú tổng bằng . 
Chứng minh rằng: chia hết cho 3
b. Giải phương trình với nghiệm là số nguyên: 
 x( x + x + 1) = 4y( y + 1).
Bài 4: ( 6.0 điểm)
Cho tam giỏc ABC nhọn (AB<AC). Cỏc đường cao AE, BF cắt nhau tại H. Gọi M trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuụng gúc với HM, a cắt AB, AC lần lượt tại I và K.
a. Chứng minh ABC đồng dạng EFC.
b. Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh NC = ND và HI = HK.
c. Gọi G là giao điểm của CH và AB. Chứng minh:
Bài 5 (2 điểm ) Cho ba số thoả món điều kiện 
 Chứng minh rằng: 
Gợi ý đỏp ỏn
Cõu
í
Nội dung
Điểm
Cõu 1
4đ
a
2.0đ
ĐKXĐ : 
Khụng cú đk x-1 trừ 0,25đ
0. 25
0.75
0,5đ
0,5đ
b
2.0đ
 với ĐKXĐ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
 ( TM ĐKXĐ)
Hoặc x = - 1 ( khụng TM ĐKXĐ)
(Nếu khụng loại x = - 1 trừ 0,25 điểm )
0,5đ
Vậy 
0,25đ
Cõu 2
4đ
a
2.0đ
Phương trình đuợc biến đổi thành: 
 = (Với ĐKXĐ: )
 () + () + () = 
 = (x + 4)(x +7) = 54 
 (x + 13)(x – 2) = 0 x = -13 hoặc x = 2 (Thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy nghiệm của phương trình là: S = 
0,5
0,5
0,5
0,5
b
2.0đ
Gọi dư trong phộp chia f(x) cho x2 - 1 là ax + b
0.25
Ta cú : f(x) = (x – 2)(x – 3)(x2- 1) + ax + b
0. 5
Theo bài ra : f(2) = 5 nờn ta cú 2a + b = 5 ; 
0.25
f(3) = 7 nờn 3a + b = 7
0.25
HS tớnh được a = 2 ; b = 1
0.5
Vậy đa thức cần tỡm là : f(x) = (x – 2)( x – 3)(x2 - 1) + 2x + 1 = x4 -5x3 +5x2 + 7x -5
0.25
Cõu 3
3đ
a
2.0đ
Dễ thấy 
Vỡ là tớch của ba số tự nhiờn liờn tiếp nờn chia hết cho 3 (*)
0.5
Xột hiệu 
 chia hết cho 3 ( Theo( *))
1.0
Mà là cỏc số tự nhiờn cú tổng bằng . 
0.25
Do vậy B chia hết cho 3.
0.25
b
2.0đ
+ Phương trình được biến đổi thành: (x + 1)(x+ 1) = (2y + 1)
+ Ta chứng minh (x + 1) và (x+ 1) nguyên tố cùng nhau !
Vì nếu d = UCLN (x+1, x+ 1) thì d phải là số lẻ (vì 2y+1 lẻ)
 2 mà d lẻ nên d = 1.
+ Nên muốn (x + 1)(x+ 1) là số chính phương 
 Thì (x+1) và (x+ 1) đều phải là số chính phương
 Đặt: (k + x)(k – x