Đề thi học sinh giỏi môn: Toán 8 - Trường THCS Đỗ Xuyên

Phòng GD&ĐT Thanh Ba
 Đề thi học sinh giỏi
 Môn: Toán 8
 Thời gian làm bài: 150 phút
(Giáo viên ra đề: Nguyễn Hoàng Thuỷ-Trường THCS Đỗ Xuyên) 
Bài 1:(2 điểm)
	Phân tích đa thức thành nhân tử:
x2+2009x-2010
x4+2010x2+2009x+2010
Bài 2: (2 điểm)
	Giải các phương trình:
x2-4+ =0
Bài 3:(2 điểm)
Chứng minh rằng nếu a+b+c=0 thì a3+b3+c3=3abc
Chứng minh rằng: 
Bài 4:(4 điểm)
Cho tam giác ABC có AB=3cm, BC=5cm, CA=4cm. Đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM.
Chứng minh rằng: AD là tia phân giác của 
Tính diện tích các tam giác: 
 Hết	
Đáp án và thang điểm
Bài
Câu
Đáp án
Điểm
1
a
(1điểm)
x2+2009x-2010=(x2-x)+(2010x-2010)=x(x-1)+2010(x-1)
 =(x-1)(x+2010)
0,5
0,5
b
(1 điểm)
x4+2010x2+2009x+2010= x4+x2+1+ 2009x2+2009x+2009
 =(x2+1)2-x2+2009(x2+x+1)
 =(x2+x+1) (x2-x+1)+ 2009(x2+x+1)
 =(x2+x+1) (x2-x+2010)
0,25
0,25
0,25
0,25
2
a
(1 điểm)
x2-4+ =0 (1)
+ Nếu x2 thì (1)(x-2)(x+3)=0loại x=-3 vì x2
 + Nếu x<2 thì (1)(x-2)(x+1)=0loại x=2 vì x<2
Vậy phương trình có 2 nghiệm x=-1 ; x=2
0,25
0,25
0,5
b
(1 điểm)
Điều kiện x0
4= (x-2)2 x=0 hoặc x=4 Kết hợp với điều kiện trên loạix=0
Vậy phương trình có một nghiệm x=4
0,25
0,25
0,25
0,25
3
a
( 1 điểm) 
Ta có a+b+c=0a+b=-c(a+b)3=-c3a3+b3+3ab(a+b)=-c3
 a3+b3+c3=-3ab(a+b)
 a3+b3+c3=-3ab(-c)
 a3+b3+c3=3abc
0,25
0,25
0,25
0,25
b
(1 điểm)
Đặt A=
Ta có: 
4A=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+..+2007.2008.2009.4
 =1.2.3.4+2.3.4.(5-1)+3.4.5.(6-2)++2007.2008.2009.(2010-2006)
 =1.2.3.4-1.2.3.4+-2006.2007.2008.2009+2007.2008.2009.2010
 =2007.2008.2009.2010
Suy ra A= Suy ra ĐPCM
0,25
0,25
0,25
0,25
4
A
B
C
H
D
M
Hình vẽ: 
a
(2 điểm)
Theo định lí Pitago đảo suy ra là tam giác vuông tại A
Vì AD là phân giác của suy ra (1)
Mặt khác do AM là trung tuyến của tam giác vuông ABC 
 MA=MC Suy ra (2)
Ta lại có (vì cùng phụ với ) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra 
Hay Suy ra ĐPCM
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
b
(2 điểm)
Vì vuông tại A và có AB=3cm, AC=4cm suy ra SABC=6 cm2
Vì AM là trung tuyến nên suy ra 
Suy ra 
Ta có đồng dạng với suy ra:
 cm2
Vì AD là tia phân giác nên theo tính chất đường phân giác ta có:
 mà Suy ra 
 Suy ra cm2
Ta lại có Suy ra cm2
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5