Đề thi học sinh giỏi lớp 9 trung học cơ sở năm học 2016 - 2017 môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
 BẾN TRE 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TRUNG HỌC CƠ SỞ 
 NĂM HỌC 2016- 2017 
 Mơn: TỐN 
 Thời gian: 150 phút ( khơng kể phát đề) 
Câu 1: (7 điểm) 
a) Chứng minh rằng: 8 7 6 5 44 6 4    A n n n n n chia hết cho 16 với mọi n là số nguyên. 
b) Cho biểu thức 
 
 
2
2 2
2
2
3 12
2 8
 
   
x
B x
x
x
x . Rút gọn biểu thức B và tìm 
các giá trị nguyên của x để B cĩ giá trị nguyên. 
c) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 22y x x y 1 x 2y xy      
Câu 2: (3 điểm) 
 Cho hàm số 2y 2 x 6 9 x 2x     cĩ đồ thị(D) 
a) Vẽ đồ thị (D) của hàm số trên. 
b) Với giá trị nào của m thì phương trình 22 x 6 9 x 2 mx     vơ nghiệm. 
c) Dựa vào đồ thị (D), tìm tập nghiệm của bất phương trình: 22 x 6 9 x.x   
Câu 3: (2 điểm) 
 Cho x, y, z là các số thực thỏa :
2
2
2
2
2 2
2017
3
1009
3
z 1008

  


 

   


y
x xy
y
z
x x z
,
(x 0,z 0,x z)   
 Chứng minh rằng: 
2 y z
.
x x z
z 


Câu 4: (5 điểm) 
 Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ 
đường trịn (O1) đường kính AE và đường trịn (O2) đường kính BE. Vẽ tiếp tuyến chung 
ngồi MN của hai đường trịn (O1) và (O2) với M là tiếp điểm thuộc (O1) và N là tiếp 
điểm thuộc (O2) . 
a) Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đường 
thẳng EF vuơng gĩc với đường thẳng AB. 
b) Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đường trịn (O) đường kính AB. Đường thẳng 
MN cắt đường trịn (O) tại C và D sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ 
dài đoạn thẳng CD. 
Câu 5: (3 điểm) 
Cho tam giác ABC cân tại A, cĩ gĩc A nhỏ hơn 900. Từ B kẻ BM vuơng gĩc với 
AC tại M (điểm M AC ). Chứng minh :
2
AM AB
1 2 .
MC BC
 
   
 
. . . . . . . . HẾT . . . . . . . . 
SỞ GD&ĐT BẾN TRE GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH 
MƠN TỐN LỚP 9 – THCS NĂM HỌC 2016 – 2017 
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 
Câu 
1 
7,0 
điểm 
a)Chứng minh rằng: 8 7 6 5 44 6 4    A n n n n n chia hết cho 16 với mọi n là số 
nguyên. 
   
48 7 6 5 4 4 4 3 24 6 4 4 6 4 1 1             A n n n n n n n n n n n n 
Vì n(n+1) là tích hai số nguyên liên tiếp nên n(n+1):2  
4 41 2 16   n n 
Do đĩ A:16 với mọi nZ 
b)Cho biểu thức 
 
 
2
2 2
2
2
3 12
2 8
 
   
x
B x
x
x
x . Rút gọn biểu thức B và 
tìm các giá trị nguyên của x để B cĩ giá trị nguyên 
 
 
 
 
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
3 12 3 3
2 8 2 2
   
         
x x x
B x x x
x x x
x
x 
+Nếu x < 0: 
2 23 -2 2 - 3 3
2 -2 2 -
  
     
x x x
B x x
x x x
 B cĩ giá trị nguyên khi 
x 1x
Z x
x 33
Ư(3) và x < 0
 
      
+Nếu 0 x 2  : 
2 3 2 3 3
2 2
 
     
x x
B x
x x x
 B cĩ giá trị nguyên khi 
3
Z x x 1
x
Ư(3) và 0<x 2      
+Nếu x > 2: 
2 23 2 2 3 3
2 2 2
  
      
x x x
B x x
x x x
 B cĩ giá trị nguyên khi 
x
Z x x 3
3
Ư(3) và x > 2     
KL: 

2
2
2x 2x 3
x
2x 3
B
x
2x 2x 3
x
 nếu x < 0
 nếu 0 < x 2
 nếu x > 2
  



 

  


B có giá trị nguyên khi  x 1; 3   
c) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 22y x x y 1 x 2y xy      
  2 2 2 22y x x y 1 x 2y xy x 1 x 2y y 1           
2
2
x 1 1
x 2y y 1
x 1 1
x 2y y 1
  

  
    

    
2
2
x 2
2y y 1 0
x 0
2y y 1 0
 

  
  

   
x 2
y 1
x 0
y 1
 


 


Vậy : phương trình có hai nghiệm nguyên là (2;1), (0;1) 
Câu 
2 
3,0 
điểm 
Cho hàm số 2y 2 x 6 9 x 2x     cĩ đồ thị(D) 
a) Vẽ đồ thị (D) của hàm số trên. 
2
x 8
y 2 x 6 9 x 2 2 x 3 x 2
3x 4
 nếu x 3
x
 nếu x < 3
 
          
 
b) Với giá trị nào của m thì phương trình 22 x 6 9 x 2 mx     vơ nghiệm. 
22 x 6 9 x 2 mx     (*) 
Phương trình (*) là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị sau: 
(D): 2y 2 x 6 9 x 2x     (đã vẽ câu a) 
(D’): y = m là đường thẳng song song với trục Ox và cắt Oy tại điểm cĩ tung độ m 
Căn cứ vào đồ thị , ta cĩ: Phương trình (*) vơ nghiệm 
 (D) và (D’) khơng giao nhau 
 m < -5 
Vậy:m < -5 thì pt (*) vơ nghiệm. 
c)Dựa vào đồ thị (D), tìm tập nghiệm của bất phương trình: 22 x 6 9 x.x   
2 22 x 6 9 x 2 x 6 9 x 2 2 (1)x x           
Căn cứ vào đồ thị (D), ta cĩ : nghiệm của (1) là tập hợp hồnh độ của các điểm 
trên (D) cĩ tung độ y 2  , nên 
x 6
x 2

 
KL: Tập nghiệm của (1) là: x > 6 hoặc x < 2 
 Câu 
3 
2,0 
điểm 
Cho x, y, z là các số thực thỏa :
2
2
2
2
2 2
2017 (1)
3
1009 (2)
3
z 1008 (3)

  


 

   


y
x xy
y
z
x x z
, 
(x 0,z 0,x z)   
 Chứng minh rằng: 
2 y z
.
x x z
z 


Trừ (1) và (2) vế theo vế, ta cĩ: 2 2x xy z 1008 (4)    
Trừ (3) và (4) vế theo vế, ta cĩ: 2 2x xy 2 0 x 2 xyz z z z      
x
y
(D)
(D'): y = m
4
2 6
-2
3
-5
8
O
m
 22x 2 xy xz z z    
    2 x z x y zz    
2 y z
.
x x z
z 
 

(ĐPCM) 
Câu 
4 
5,0 
điểm 
a)Chứng minh rằng đường thẳng EF vuơng gĩc với đường thẳng AB. 
MN là tiếp tuyến chung của (O1) và (O2) 
Nên 1 2 1 2MN O M;MN O N O M O N   
0
1 2MO E NO E 180   
1O AM cân tại O1 1 1MO E 2 AM  O 
2O BN cân tại O1 2 2NO E 2 BN  O 
 1 2 1 2MO E NO E 2 AM BN   O O 
0
1 2AM BN 90  O O 
0MFN 90  
Mặt khác: 
0AM BNE 90 E ( gĩc nội tiếp chắn nửa 
đường trịn) 
0EMF ENF 90   
Tứ giác MENF là hình chữ nhật 
M NME EF 
Mà 1 1O EM O M E ( 1O M E cân tại O1) và 
0
1NME ME 90 O (MN là tiếp tuyến) 
0
1MEF EM 90  O 
Hay EFAB tại E 
b)Tính độ dài đoạn thẳng CD. 
Ta cĩ AB 18cm,AE 6cm EB 12cm,OF 9cm     
AFB vuơng tại F cĩ đường cao EF nên 2EF AE.EB 6.12 72 EF 6 2cm     
MN EF 6 2cm   
Gọi K, I lần lượt là giao điểm của EF, OF với MN. 
Tứ giác MENF là hình chữ nhật nên cĩ NMF NEF 
 mà NEF ABF (cùng phụ gĩc BEM) 
NMF ABF (1)  
FNM~FAB 
Ta lại cĩ OAF cân tại O OAF OFA (2)  
Và 0OAF ABF 90  (3) 
Từ (1), (2), (3) 0 0NMF OFA 90 MIF 90     
FNM~FAB và cĩ FI, FE là hai đường cao tương ứng nên 
FI MN FI 6 2
FI 4cm OI FI 9 4 5cm
AB 186 2
          OF
EF
OID vuơng tại I cĩ 2 2 2 2 2ID OD OI 9 5 56 ID 2 14cm       
Vì OFCD tại I CD 2ID 4 14cm  
O2O1
I
D
C
O
F
N
M
K
A B
E
Câu 
5 
3,0 
điểm 
Chứng minh :
2
AM AB
1 2 .
MC BC
 
   
 
ABC cân tại A nên AB = AC 
 Ta cĩ 
2
AM AB
1 2 .
MC BC
 
   
 
2
2
AM MC AC
2
MC BC

  
2
2
2
AC AC
2 BC 2 C.MC
MC BC
    A 
Ta cần chứng minh: 2BC 2 C.MC A 
Thật vậy:  
22 2 2 2 2BC BM MC AB AM AC AM      
 2 2 2 2AC AM AC 2 C.AM AM    A 
 22AC 2 C.AM 2 C.(AC AM) 2 C.MC    A A A 
---------------------- HẾT ---------------------------- 
M
CB
A