Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Nam Định môn Toán

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
TỈNH NAM ĐỊNH
* Môn thi : Toán   * Thời gian : 150 phút   * Khóa thi : 2002 - 2003
Bài 1 : 
Rút gọn biểu thức : 
Bài 2 : 
Gọi a và b là hai nghiệm của phương trình bậc hai x2 - x - 1 = 0. Chứng minh rằng các biểu thức P = a + b + a3 + b3, Q = a2 + b2 + a4 + b4 và R = a2001 + b2001 + a2003 + b2003 là những số nguyên và chia hết cho 5. 
Bài 3 : 
Cho hệ phương trình (x, y là các ẩn số) :
a) Giải hệ phương trình với m = 7. 
b) Tìm m sao cho hệ phương trình (1) có nghiệm. 
Bài 4 : 
Cho hai vòng tròn (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài với nhau tại T. Hai vòng tròn này nằm trong vòng tròn (C3) và tiếp xúc với (C3) tương ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại T của (C1) (C2) cắt (C3) tại P. PM cắt (C1) tại điểm thứ hai A và MN cắt (C1) tại điểm thứ hai B. PN cắt (C2) tại điểm thứ hai D và MN cắt (C2) tại điểm thứ hai C. 
Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. 
Chứng minh rằng các đường thẳng AB, CD và PT đồng qui. 
Bài 5 : 
Một ngũ giác có tính chất : Tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác đó.