Đề thi học sinh giỏi lớp 9 quận 1 – Vòng 1 (năm 2015 - 2016)

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 
Trang 1 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 1) – Quận 1 (2015-2016) 
Thời gian: 120 phút 
Bài 1: (6 điểm) 
a) Cho 
x y z
1
y z z x x y
  
  
 . Tính giá trị của 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y z x y z x y z
A
y z z x x y
      
  
  
b) Rút gọn biểu thức sau: 
2 4 5 21 80
M
10 2
  


Bài 2: (3 điểm) 
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  P x 6 x 5 x x 1,với 0 x 5       
b) Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn: 2 2 2 2a b c d   . Chứng minh rằng: (abcd 2015) 
viết dưới dạng hiệu của hai số chính phương. 
Bài 3: (4 điểm) Giải các phương trình sau: 
a) 22 3 6 9x x x x      
b) 
x 56 x
x 8
16 8

   
Bài 4: (6 điểm) Cho điểm A nằm ngoài đường (O;R). Vẽ AB, AC là tiếp tuyến của (O) (B, C là các 
tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC, M là điểm di động trên đoạn thẳng BH, đường 
thẳng AM cắt đường tròn (O) tại D, E. (D nằm giữa A và M). Vẽ ON vuông góc với DE tại N. 
a) Chứng minh: 2AB AM.AN 
b) Xác định vị trí của điểm M để tổng AD 3AN AE  đạt giá trị nhỏ nhất. 
c) Chứng minh rằng: bốn điểm D, E, O, H cùng thuộc một đường tròn. 
Bài 5: (1 điểm) 
“Mắt thần dành cho người khiếm thị – Sống là cho đâu chỉ nhận riêng mình” 
Thủ tướng Chính phủ Nguyễn Tấn Dũng đã dành trọn buổi sáng nay (11-9-2015) tại trụ sở Bộ 
Khoa học và Công nghệ để gặp gỡ, lắng nghe các nhà khoa học trẻ tiêu biểu năm 2015. Trước 
chia sẻ thẳng thắn của các nhà khoa học trẻ về phát minh, sáng chế và những chông gai trên con 
đường nghiên cứu khoa học – công nghệ. 
Cả nước hiện có 1,2 triệu người khiếm thị, trong đó 300.000 người mù hoàn toàn. Mắt thần dành 
cho những người khiếm thị do Tiến sĩ Nguyễn Bá Hải (ĐHSP Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh) nghiên 
cứu, chế tạo đã tặng hoàn toàn cho những người có hoàn cảnh khó khăn, trẻ em nghèo, người mù 
bán vé số Đáng chú ý, sản phẩm này được đối tác tại Mỹ quan tâm, muốn đặt hàng và Thủ 
tướng Chính phủ đã trực tiếp đặt hàng 300.000 chiếc. 
Trong hội nghị có 70 thành viên nam và một số thành viên nữ. Tất cả đều là các nhà khoa học trẻ 
hoặc các nhà lảnh đạo Chính phủ, các phóng viên truyền thông. Biết rằng số thành viên nữ là các 
nhà khoa học trẻ bằng số thành viên nam là các nhà lảnh đạo, các phóng viên truyền thông. 
Hỏi trong hội nghị có bao nhiêu nam và nữ là các nhà khoa học trẻ? 
ĐỀ THI HSG LỚP 9 
QUẬN 1 – Vòng 1 (2015-2016) 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 
Trang 2 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 1) – Quận 1 (2015-2016) 
  HẾT  
Thời gian: 120 phút 
Bài 1: (6 điểm) 
a) Cho 
x y z
1
y z z x x y
  
  
 . Tính giá trị của 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y z x y z x y z
A
y z z x x y
      
  
  
 (2 Đ) 
Ta có:  
x y z
x y z x y z
y z z x x y
 
       
   
     
x y z
x y z . x y z . x y z . x y z
y z z x x y
           
  
2 2 2
x y z
x y z x y z
y z z x z x
        
  
2 2 2
x y z
0
y z z x x y
   
  
Do đó: 
2 2 2
x y z
A y z z x x y 0
y z z x x y
         
  
Vậy 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y z x y z x y z
A
y z z x x y
      
  
  
b) Rút gọn biểu thức sau: 
2 4 5 21 80
M
10 2
  


 (4 Điểm) 
   
 
 
2 2
2
2 4 5 2 5 1 2 4 5 1
2 4 6 2 5 2 3 5
M
10 2 10 2 5 12 5 1
5 1
5 1
1
5 1 5 1
    
  
   
  


  
 
Vậy M 1 
Bài 2: (3 điểm) 
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  P x 6 x 5 x x 1,với 0 x 5       (1,5 điểm) 
Xét 0 x 5  thì P > 0. 
Xét:          2 2 2P x 6 x 25 10x x x 1 2x 5 x 6 x x 1          
Áp dụng BĐT Cô – si với hai số không âm: 6 x;x 1  , ta có: 
  2 6 x x 1 6 x x 1 7       
Hướng Dẫn: ĐỀ THI HSG LỚP 9 
QUẬN 1 – Vòng 1 (2015-2016) 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 
Trang 3 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 1) – Quận 1 (2015-2016) 
Do đó:  2 2 2
25 125
P 3x 15x 25 7x 5 x 10 x 5x 25
4 2
 
            
 
2
2
5 175 175 5 14 5 14
10 x P
2 2 2 2 2
  
              
Dấu “=” xảy ra  
5
x thỏa điều kiện
2
  
Vậy 
max
5 14
P
2
 tại 
5
x
2
 
b) Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn: 2 2 2 2a b c d   . Chứng minh rằng: (abcd 2015) 
viết dưới dạng hiệu của hai số chính phương. (1,5 điểm) 
Ta có:    
2
2m 1 4m m 1 1    
Do đó với mọi m Z thì  
2
2m 1 chia 8 dư 1. Nên với a, b, c, d lẻ thì 2 2 2 2a ,b ,c ,d chia 8 dư 1. 
Suy ra: không xảy ra 
2 2 2 2
a b c d   (vì vế trái chia 8 dư 1, vế phải chia 8 dư 3) 
Vậy trong các số a, b, c, d có ít nhất một số chẵn. Ta có: a.b.c.d 2015 là số lẻ. 
Đặt  a.b.c.d 2015 2n 1 n Z        
2
2
2n 1 n 1 n n 1 n n 1 n          
Vậy ta có được điều phải chứng minh. 
Bài 3: (4 điểm) Giải các phương trình sau: 
a) 22 3 6 9x x x x      (2 điểm) 
Điều kiện: 2 x 3   
Ta có:    2 2x 2 3 x x 6x 9 x 2 2 1 3 x x 6x 8               
   
  
x 2 4 1 3 x
x 2 x 4 0
x 2 2 1 3 x
   
     
   
    
1 1
x 2 4 x 0 1
x 2 2 1 3 x
 
      
    
Do 2 x 3   4 x 0   nên biểu thức trong dấu ngoặc thứ hai dương. 
Do đó: x 2 0 x 2    . 
Vậy  S 2 
b) 
x 56 x
x 8
16 8

   (2 điểm) 
Điều kiện: x 8 . Phương trình đã cho trở thành: 
2 x 56 16 x 8 x    2 x 8 16 x 8 64 x       
2
x x 8 8 x    
  2
x 16
2 x 8 x 16
4 x 8 x 32x 256
 
     
   
  
 
2
x 16x 16
x 24 nhận
x 24 x 12 0x 36x 288 0
   
    
      
Vậy  S 24 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 
Trang 4 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 1) – Quận 1 (2015-2016) 
Bài 4: (6 điểm) Cho điểm A nằm ngoài đường (O;R). Vẽ AB, AC là tiếp tuyến của (O) (B, C là các 
tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC, M là điểm di động trên đoạn thẳng BH, đường 
thẳng AM cắt đường tròn (O) tại D, E. (D nằm giữa A và M). Vẽ ON vuông góc với DE tại N. 
K
N
E
D
H
C
B
O A
M
a) Chứng minh: 2AB AM.AN (3 Điểm) 
Chứng minh được: OA là đường trung trực của BC OA BC tại H  
Ta có: 
2
AB AH.AO AM.AN  
b) Xác định vị trí của điểm M để tổng AD 3AN AE  đạt giá trị nhỏ nhất. (2 Điểm) 
Ta có: AN AO (quan hệ đường vuông góc – đường xiên) 
ON DE  N là trung điểm của DE NE ND  
Ta có: AD 3AN AE AN DN 3AN AN EN AN AO :không đổi           
Dấu “=” xảy ra N O M H    
Vậy khi M là giao điểm của AO và BC thì AD 3AN AE  đạt GTNN. 
c) Chứng minh rằng: bốn điểm D, E, O, H cùng thuộc một đường tròn. (1 Điểm) 
Gọi K là giao điểm của đường ON và BC. 
 
ON OA
ONA OHK g g ON.OK OH.OA
OH OK
      ∽ 
2
ON.OK OE  
  0OEK ONE c g c OEK ONE 90      ∽ 
Do đó: 
0
ODK OEK OHK 90   D,H,E thuộc đường tròn đường kính OK. 
D,H,E,O,K cùng thuộc một đường tròn.  D, E, O, H 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 
Trang 5 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 1) – Quận 1 (2015-2016) 
Bài 5: (1 điểm) 
“Mắt thần dành cho người khiếm thị – Sống là cho đâu chỉ nhận riêng mình” 
Thủ tướng Chính phủ Nguyễn Tấn Dũng đã dành trọn buổi sáng nay (11-9-2015) tại trụ sở Bộ 
Khoa học và Công nghệ để gặp gỡ, lắng nghe các nhà khoa học trẻ tiêu biểu năm 2015. Trước 
chia sẻ thẳng thắn của các nhà khoa học trẻ về phát minh, sáng chế và những chông gai trên con 
đường nghiên cứu khoa học – công nghệ. 
Cả nước hiện có 1,2 triệu người khiếm thị, trong đó 300.000 người mù hoàn toàn. Mắt thần dành 
cho những người khiếm thị do Tiến sĩ Nguyễn Bá Hải (ĐHSP Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh) nghiên 
cứu, chế tạo đã tặng hoàn toàn cho những người có hoàn cảnh khó khăn, trẻ em nghèo, người mù 
bán vé số Đáng chú ý, sản phẩm này được đối tác tại Mỹ quan tâm, muốn đặt hàng và Thủ 
tướng Chính phủ đã trực tiếp đặt hàng 300.000 chiếc. 
Trong hội nghị có 70 thành viên nam và một số thành viên nữ. Tất cả đều là các nhà khoa học trẻ 
hoặc các nhà lảnh đạo Chính phủ, các phóng viên truyền thông. Biết rằng số thành viên nữ là các 
nhà khoa học trẻ bằng số thành viên nam là các nhà lảnh đạo, các phóng viên truyền thông. 
Hỏi trong hội nghị có bao nhiêu nam và nữ là các nhà khoa học trẻ? 
Gọi số nữ là các nhà khoa học trẻ là x(người) (x là số nguyên dương) 
Số thành viên nam là các nhà lảnh đạo, các phóng viên truyền thông bằng x(người) 
Số thành viên nam là các nhà khoa học trẻ:  70 x người 
Số nam và số nữ là các nhà khoa học trẻ là:  x 70 x 70   (người) 
  HẾT 