Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh Quảng Nam năm học 2014 – 2015 môn thi: Toán

 caovanpbc@gmail.com 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG NAM 
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH 
Năm học 2014 – 2015 
 Môn thi : TOÁN 
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi : 10/4/2015 
Câu 1: (2 điểm) 
 Cho biểu thức 
3
3
2 1 1
.
1 11
x x x
P x
x x xx
   
            
 với 0x và 1x . 
 Rút gọn biểu thức P . Tìm x để 3P x  . 
Câu 2: (4 điểm) 
1/ Cho các số nguyên a,b,c. Chứng minh rằng: 
 a2015 + b2015 + c2015 chia hết cho 6 khi và chỉ khi a + b + c chia hết cho 6 . 
2/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;2), cắt trục tung tại điểm có tung 
độ là một số nguyên dương và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là một số nguyên tố. 
Câu 3: (6 điểm) 
1/ Giải phương trình: 1 2 2 3x x x     
 2/ Giải hệ phương trình: 
4 2 2 2
2 4
2
1 1
y y x xy x
x x y y
    

    
3/ Cho các số 0, 0a b  và 3a b ab   . Chứng minh: 
1 3
1 1 1 2
a b
ab b a
  
  
. 
Câu 4: (2 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). M là điểm thay đổi trên 
cạnh AB ( M khác A và B). Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bên của 
hình thang ABCD. Các tia CM và DM lần lượt cắt SD, SC tại E và F. 
 Chứng minh rằng biểu thức 
SE SF
ED FC
 có giá trị không đổi khi M thay đổi. 
Câu 5: (6 điểm) 
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Kẻ bán kính OH vuông góc với AB. 
M là điểm thay đổi trên đoạn OH ( M khác O và M khác H). Đường thẳng AM cắt nửa 
đường tròn (O) tại C (C khác A). 
a/ Khi M là trung điểm OH, tính độ dài đoạn CM theo R. 
b/ Xác định vị trí điểm M trên đoạn OH biết CB2 = CA.CM 
c/ Gọi N là giao điểm của OC và BM. Chứng minh rằng với điểm M được xác định 
ở câu b/ thì tích NM.NB đạt giá trị lớn nhất . 
ĐỀ CHÍNH THỨC