Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Tư Nghĩa năm học: 2014 - 2015 môn thi: Toán

UBND HUYỆN TƢ NGHĨA 
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO 
KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN 
Năm học: 2014 - 2015 
Môn thi: Toán 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi: 11/12/2014 
Bài 1: (4 điểm). 
Cho biểu thức 
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
A
x x x x
  
  
   
 . 
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . 
b) Rút gọn biểu thức A . 
c) Với giá trị nào của x để A nhận giá trị nguyên. 
Bài 2: (6 điểm) 
a) Cho ba số a, b, c thỏa mãn c  b, c a+b và c2 = 2(ac +bc - ab) 
Chứng minh: 
2 2
2 2
( )
( )
a a c a c
b b c b c
  

  
b) Tìm số nguyên n để n4 + 2n3+ 2n2 + n + 7 là số chính phƣơng. 
c) Tìm số tự nhiên k =ab có hai chữ số sao cho k + ab = (a+b)2 
Bài 3: (4 điểm) 
a) Gi i phƣơng trình: (x-1)(x+2) + 4(x-1)
2
12
1
x
x



. 
b) Tìm nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình: 3x +4y = 29 
Bài 4: (3 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC>AB), đƣờng cao AH (H thuộc BC). Trên tia 
HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đƣờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 
a) Chứng minh tam giác AEB là tam giác cân 
b) Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh ΔBHM ΔBEC∽ 
Bài 5: (3 điểm) 
Cho đƣờng tròn tâm O đƣờng kính AB. Đƣờng thẳng d tiếp xúc với đƣờng tròn tại 
điểm M. Đƣờng thẳng MN vuông góc với AB tại N (NAB). Gọi H, K lần lƣợt là 
chân của đƣờng vuông góc hạ từ A và B đến đƣờng thẳng d. Chứng minh rằng: 
MK
2
 = AH.BK 
..........................HẾT.............................. 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
UBND HUYỆN TƢ NGHĨA 
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO 
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện 
Năm học: 2014 - 2015 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi: 11/12/2014 
Bài Nội dung Điểm 
1a 
(1đ) 
a) ĐKXĐ: 0; 4; 9x x x   
1,0đ 
1b 
(2đ) 
b) Rút gọn biểu thức A 
  
     
  
  
  
  
  
2 9 3 2 1
5 6 2 3
2 9 3 2 1
 =
2 33 2
2 9 3 3 2 1 2
 =
3 2
2 9 9 2 4 2
 =
3 2
1 22 1
 =
33 2 3 2
x x x
A
x x x x
x x x
x xx x
x x x x x
x x
x x x x x
x x
x xx x x
xx x x x
  
  
   
  
 
  
      
 
      
 
   
 
   
2,0đ 
1c 
(1đ) 
Ta có 
1 4
1
3 3
x
A
x x

  
 
Để A nhận giá trị nguyên thì 3x  là ƣớc của 4 
Hay
3 1 1 3 16; 4( )
3 2 2 3 25; 1
493 4 4 3
x x x x loai
x x x x
xx x
        
             
           
1,0đ 
2a 
(2đ) 
Chứng minh: 
2 2
2 2
( )
( )
a a c a c
b b c b c
  

  
Ta có: c2 = 2(ac +bc - ab) 
 c2 +2ab -2ac - 2bc = 0 
 a2 = a2+( c2 +2ab -2ac - 2bc) 
 =(a2 - 2ac + c2)+2b(a-c) 
 =(a – c)2 +2b(a-c) 
 =(a – c)(a - c +2b) 
1,0đ 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
Tƣơng tự: b2 =(b – c)(b - c +2a) 
Do đó: 
  
  
  
  
22 2
2 2 2
a – c a c 2b ( )( )
( ) b – c b c 2a ( )
a – c 2a 2c 2b
(c a b)
b – c 2b 2c 2a
a ca a c
b b c b c
a c
b c
    

     
  
   
  
1,0đ 
2b 
(2đ) 
Tìm số nguyên n để n4 + 2n3+ 2n2 + n + 7 là số chính phương. 
Theo đề ta có: n4 + 2n3+ 2n2 + n + 7 = m2 (mZ) 
 4(n4 + 2n3+ 2n2 + n + 7)= 4m2 
 4n4 + 8n3 + 8n2 + 4n + 28 = 4m2 
 (2n2 + 2n + 1)2 + 27 = 4m2 
 (2n2 + 2n + 1)2 – (2m)2 = - 27 
 ( 2n2 + 2n + 1-2m)(2n2 + 2n + 1+2m) = -27 
 1,0đ 
*Trƣờng hợp 
2
2
2n 2n 1- 2m 1
2n 2n + 1 + 2m 27
    

 
 và 
2
2
2n 2n 1- 2m 27
2n 2n + 1+2m 1
   

  
 Ta tìm đƣợc n=2 hoặc n = -3 
*Trƣờng hợp khác không tìm đƣợc nZ để A là số chính phƣơng. 
Vậy: n4 + 2n3+ 2n2 + n + 7 là số chính phƣơng khi n=2 hoặc n = -3 
 1,0đ 
2c 
(2đ) 
 Tìm số tự nhiên k = ab có hai chữ số sao cho k + ab = (a+b)
2
Ta có k =ab = 10a +b nên k + ab = (a+b)
2 
 10a +b + ab = a
2
 +b
2
 +2ab 
 b
2
 + ab-b = 10a – a2 
 b
2
 + (a-1)b = a(10-a) 
Mà a(10-a) 25 do đó b2 + (a-1)b  2 5 
 b
2
  2 5(vì (a-1)b  0 ) 
b= 0; 2; 3; 4; 5 
 1,0đ 
Với b = 0 thì a(10-a) =0 a = 0 (loại) hoặc a = 10 (loại) 
Với b = 1 thì a2 – 9a = 0 a = 0 (loại) hoặc a = 9 
Với b = 2 thì a2 – 8a +2 =0 a = 4 14 (loại) 
Với b = 3 thì a2 – 7a +6 =0 a = 1 hoặc a = 6 
Với b = 4 thì a2 – 6a +12 =0 ( vô nghiệm) 
Với b = 5 thì a2 – 5a +20 =0 ( vô nghiệm) 
Vậy số k cần tìm là: 91; 13; 63 
1,0đ 
3a 
(2đ) 
 i i phương t ình: -1)(x+2) + 4(x-1)
2
12
1
x
x



. 
Điều kiện: 
22
0
11
xx
xx
 
    
Đặt t= (x-1)
2
1
x
x


  t2 = (x-1)2. 
2
1
x
x


=(x-1)(x+2) 
Do đó (x-1)(x+2) + 4(x-1)
2
12
1
x
x



 trở thành : t2+4t -12 =0
2
6
t
t

   
 1,0đ 
Với t = 2 ta có (x-1)(x+2) =4 2
3
6 0
2
x
x x
x
 
      
 (Thỏa mãn) 
Với t = - 6 ta có (x-1)(x+2)=36 2
1 153
2
38 0
1 153
2
x
x x
x
  

    
  


 (Thỏa mãn) 
Vậy nghiệm của phƣơng trình là: x= - 3; x=2; 
1 153 1 153
;
2 2
x x
   
  
 1,0đ 
3b 
(2đ) 
Tìm nghiệm nguyên dương của phương t ình: 3x +4y = 29 
Ta có 3x +4y = 29 
29 4 2
9
3 3
y y
x y
 
     
Muốn x, y nguyên thì 
2
3
y
 ph i nguyên 
Hay 3 là ƣớc của 2 - y 
Do đó 2- y =3t (tZ)  y= 2-3t và x = 4t+7 
 1,0đ 
Theo đề thì x> 0; y >0 
Do đó 
2
y 2-3t >0 3
( )
x 4t 7 >0 7
4
t
t Z
t

 
  
    

Suy ra t = -1; t=0 
Với t= -1 thì x=3; y=5 (thỏa mãn) 
Với t = 0 thì x=7, y= 2(thỏa mãn) 
Vậy: Nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình là: (3;5) và (7;2) 
 1,0đ 
4 
(3đ) 
Câu a : Tam giác AEB cân 
Ta có:
EC BC
DC AC

 ( )ABC DEC ∽ 
và C chung
 BEC ADC ∽ 
BEC ADC  
Mặt khác AH = HD (gt) nên 
0 0 045 135 45ADH ADC BEC AEB      
Mà AEB vuông tại A nên 045ABE  
Vậy : Tam giác AEB cân 
1,5đ 
Câu b : BHM BEC ∽ 
 Xét tam giác vuông cân ABE ta có : 2AB2= BE2 (Pitago) 
 Xét AHB và CAB ta có: 
090AHB CAB  ; B chung 
AHB CAB
AB BH
BC AB
 
 
∽
 AB
2 
=BH.BC2AB
2 
= 2BH.BCBE
2
=2BH.BC
2
BE BH BM BH
BC BE BC BE
    
 Xét BHM và BEC ta có:
BM BH
BC BE
 và MBH chung 
BHM BEC ∽ (Đpcm) 
1,5đ 
5 
(3đ) 
Chứng minh ằng: MK2 = AH.BK 
 Đƣờng thẳng d tiếp xúc với (O) tại M 
nên OM (d) 
Mà AH và BK cùng vuông góc với (d) 
=> AH//OM //BK 
=> HAM OMA (1) 
 AOM cân tại O (OA = OM) 
=> OMA OAM (2) 
Từ (1) và (2) => HAM OAM 
1,0 đ 
M
E
DH
CB
A
N
K
M
H
BA
0
 C : 
-Học sinh có thể gi i theo cách khác, nếu đúng v n cho điểm tối đa. 
-Không có điểm vẽ hình. 
-Chứng minh mà không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không có điểm. 
-Điểm toàn bài đƣợc làm tròn đến số thập phân thứ hai. 
Kín c ào tạp c í toán tuổi t ơ ! 
Tôi tên là :Trƣơng Quang An 
Vừa rồi ngày 4-1-2016 tôi có nhận đƣợc 1 giấy mời ra Hà Nội nhân diệp tạp chí 
toán tuổi thơ 15 năm tuổi .B n thân tôi và gia đình rất vui và thấy đây là một vinh 
dự nhƣng hoàn c nh gia đình quá khó khăn .Tôi đi làm lƣơng quá thấp ,dạy hợp 
đồng ,vợ tôi đi làm công nhân ở xa .sáng đi 5h sáng ,chiều 8h mới về nhà .Vợ tôi 
làm thì tháng nào có s n phẩm thì có lƣơng ,không có s n phẩm làm thì tháng đó 
không có lƣơng ,một tháng đƣợc 2 triệu /tháng .Hai vợ chồng làm không đủ trang 
tr i cho cuộc sống hằng ngày .Tôi học toán-tin và chỉ dạy tin học .Thời gian làm 
thêm phụ gia đình nhiều để có tiền trang tr i cuộc sống .Cha tôi ngày xƣa làm phụ 
hồ ,làm thuê làm mƣớn cho ngƣời ta ,mẹ tôi đi rửa chén thuê cho các nhà quán ăn 
.Tôi đam mê toán học khi là học sinh cấp 1 .Tôi rất nghèo nhƣng niềm đam mê 
toán học trong tôi rất lớn dù tôi có hoạt đông bên lĩnh vực khác .Tôi xin chân 
thành c m ơn tạp chí đã có thƣ mời tôi ra Hà Nội nhé .Tiền tàu xe đi và về ,ăn ở 
b n thân tôi lo không nổi nên không thể ra dự với tạp chí .Năm ngoái tôi không ra 
Đà Nẵng dự hội th o đƣợc ,năm nay lại thất hứa .Xin lỗi tạp chí TOÁN TUỔI 
THƠ ,tuy nhiên tôi xin chúc tạp chí luôn phát triển mạnh mẽ và có nhiều ngƣời 
đam mê toán học nhé .Tôi xin hứa là sẽ thƣờng xuyên viết bài và gởi bài cho tạp 
chí toán tuổi thơ và tạp chí toán học& tuổi trẻ 
Tôi rất buồn .Xin chân thành ghi nhận tấm lòng của tạp chí 
Nên MHA =MNA 
=> HA = AN ; MN = MH 
 Chứng minh tƣơng tự KBM =NBM 
=> BN=BK 
1,0 đ 
 OA= OB mà OM // BK//AH=>MK=MH 
 AMB vuông tại M (MO = OA = OB 
1
2
 AB ) 
Mà MNAB(gt) nên MN
2
= AN.BN =AH.BK 
Hay MK
2 
 = AH.BK ( đpcm) 
1,0 đ 
Tên : Trƣơng Quang An 
 Ngày sinh :20-5-1987 
Tốt nghiệp cao đẳng sƣ phạm toán qu ng Ngãi năm 2009 
 Ra trƣờng đi xin việc khắp mọi nơi vào cuối năm 2011 mới xin hợp đồng 
làm việc gi ng dạy toán cho 1 trƣờng cấp 2 
Nhà hiện nay ở Thành Phố Qu ng Ngãi 
Thành tích lúc đi học : 
Lớp 8 : Học sinh đạt gi i nhì học sinh giỏi toán cấp thị xã Qu ng Ngãi 
Lớp 9 : Học sinh đạt gi i ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Qu ng Ngãi 
Lên cấp 3 học Trƣờng Cấp 3 Chuyên Lê Khiết 
Năm 2005 thi đại học sƣ phạm Quy Nhơn đạt 24 điểm , tôi ph i xa gi ng 
đƣờng đại học vì mẹ tôi đau quá nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà tôi phai chia 
tay đại học .Sau đó tôi về quê nhà học cao đẳng sƣ phạm Qu ng Ngãi 
3 năm học tại đây tôi là sinh viên giỏi nhất khoa về Toán học .Các Thành 
tích : 
- Gi i nhất toán lý sơ cấp 3 năm học 2006,2007,2008 
-Ba năm gi i nhất môn gi i tích trong kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN 
cấp trƣờng Cao Đẳng Sƣ Phạm Qu ng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008 
 -Trong 3 lần đại diện cho trƣờng thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn 
quốc thì 1 lần đạt gi i ba ,1 lần gi i khuyến khích . 
-Ba năm liền đạt gi i nhất trong kỳ thi sinh viên gi i toán trên máy tính casio 
cấp trƣờng . 
-Sinh viên đầu tiên của trƣờng cao đẳng sƣ phạm đƣợc đăng đề trong mục đề 
ra kỳ này của tạp chí toán học tuổi trẻ 
-Sinh viên đầu tiên của trƣờng cao đẳng sƣ phạm đƣợc đăng bài trong mục 
chuyên đề của đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ 
-Giáo viên đầu tiên của tỉnh Qu ng Ngãi đƣợc đăng bài trên đặc san tạp chí 
toán học và tuổi trẻ 
 -Hiện nay sáng dạy ở trƣờng vì đồng lƣơng quá thấp nên đi dạy kém khắp 
nơi đề kiếm thêm tiền để trang tr i cuộc sống hằng ngày và phụ giúp cha mẹ nghèo 
ở quê Qu ng Ngãi 
-B n thân là ngƣời rất đam mê môn toán từ khi tôi còn là học sinh lớp 7 , 
hiện nay tôi thƣờng gi i các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu 
vào chuyên toán 
-Hiện nay b n thân muốn học lên đại học nhƣng có lẻ ƣớc mơ đó của tôi 
không thành hiện thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hoàn c nh 
-Những giáo viên yêu toán nếu có nhu cầu gi i các bài toán khó và giao lƣu 
học hỏi 
-Xóm tôi bình thƣờng lắm ,bọn nhỏ ngây thơ ,ngộ nghĩnh đáng yêu .Hằng 
ngày bọn trẻ xóm tôi thƣờng nhờ tôi giúp các bài toán khó .Tôi đến với tạp chí toán 
học tuổi trẻ khi tôi còn là một học sinh lớp 7 .Mƣời sáu năm qua tôi đã coi tạp chí 
nhƣ một ngƣời bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 hằng tháng .Ban đầu 
tôi thích thú tò mò tìm thêm tài liệu ,sau nay cố gắng gi i các bài tập trong chuyên 
mục đề ra kỳ này .Trong 16 năm qua tạp chí đã cho tôi đƣợc tiếp xúc với các bài 
toán rất hay ,chuyên đề hay .Ba năm học cao đẳng là thời gian đẹp nhất cuộc đời 
tôi .Tôi bƣớc vào sƣ phạm toán với nền t ng kiến thức vô cùng tốt .Ngay tôi đƣợc 
tạp chí đăng 1 bài trên chuyên mục đề ra kỳ này tôi rất vui sƣớng ,không t nỗi .Đó 
là thời điểm năm 2008 ,khi đó tôi chỉ là 1 sinh viên nghèo của trƣờng ,điều kiện 
học tập không có ,sinh viên cao đẳng nhƣ tôi viết bài cho 1 tạp chí toán học là điều 
viễn vông ,đó là sƣ thật .Nhƣng tôi không n n lòng và cuối cùng tôi cũng đạt đƣợc 
ƣớc mơ của tôi .Những ngày đó thật khó khăn ,tôi chỉ ghi bài gi i trên giấy A4 rồi 
đem thƣ ra bƣu điện gởi .Cách đây 1 năm thì có chị họ làm quán PHÔ T Ô COPPY 
bán lại một chiếc máy tính đề bàn cũ ,tôi mua với giá 500 ngàn ,vui lắm các bạn 
,thế là từ nay có thể đánh vi tinh các bài toán mà minh suy nghĩ và sƣu tầm ,sau khi 
hoàn thiện tôi chạy ra quán PHÔ T Ô COPPY để gởi vì nhà không có mạng 
INTERNET .Có lẽ tôi sẽ gục ngã trƣớc cuộc sống nghèo khổ và thiếu tiền bạc nếu 
nhƣ tôi không có niềm đam mê toán học .Tôi nhớ mãi năm 2008khi cầm trên tay tờ 
báo có đăng bài của minh tôi đã vui run luôn ,tôi ra bƣu điện mua báo toán ,trên kệ 
báo còn đúng 1 tờ ,đọc và thấy tên mình và tôi đã lên xe đạp cà tàng của sinh viên 
đạp nhanh nhanh về nhà ,thật nhanh ,tôi không biết tôi đã qua mấy ngã tƣ nữa ,chỉ 
biết đạp thật nhanh .Mấy tháng sau có thƣ nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối với 1 
đứa sinh viên nghèo nhƣ tôi đó là số tiền 1 tháng đề ăn sáng đi học ,vui lắm các 
bạn ak .Sinh viên qua nhanh ,ra trƣơng vì hoàn c nh cha mẹ đau và không có 
tiền,không nơi nào nhận mình vào dạy học ,mình đã đi chạy bàn cà phê,chạy bàn 
đám cƣới cho nhà hàng ,mình đi dạy kèm khắp nơi ,có khi ph i đi chạy xe ôm 
nhƣng khi r nh mình thƣờng lấy tạp chí toán học ra xem .Tạp chí nhƣ một phần 
trong cơ thể mình ,rồi sau 4 năm chạy việc khắp nơi tôi cũng xin đƣợc hợp đồng 
cho 1 trƣờng cấp 2 để dạy toán . Nhà tôi hiện nay sách toán rất nhiều ,16 năm qua 
tôi đã có trong tay kho ng 451 số báo toán học ,mua có ,tôi mƣợn báo để phô tô 
cũng có .Hồi xƣa khi tới ngày 15 hằng tháng tôi thƣờng ra bƣu điện đề mua ,từ nhà 
đạp xe đạp ra ,tới nơi mệt nhƣng khi mua đƣợc báo là tôi vui lắm .Vào năm 2014 
thì đi làm cuộc sống cũng đỡ khó khăn thì tôi mạnh dạn dành tiên lên bƣu điện đặt 
báo để nhân viên giao tận nhà luôn .Qua thời gian tôi cung mua đƣợc chiếc xe máy 
cũ đề đi làm .Qua nhũng tâm sự này tôi muốn các bạn yêu toán mà có điều kiện 
hơn tôi hãy cố gắng lên nhé ,hãy đặt mua tạp chí toán học ,hãy viết bài cho tạp chí 
.Tiền trong cuộc sống không là gì ,nếu chúng ta cố gắng và có ý chí thì chúng ta sẽ 
thành công .Tôi hiện nay có 2 ƣớc mơ ,thứ nhất đƣợc ra thăm toán chí toán học 
tuổi trẻ 1 lần cho biết ,năm ngoái đƣợc tạp chí toán học tuổi thơ mời ra dự buổi hội 
th o toán học ở Đà Nẵng nhƣng do công việc và cha mẹ đau nặng tôi đã không ra 
.Thứ 2 mong đƣợc học lên đại học hệ chính quy .Mặc dù ở quê tôi có dạy hệ tại 
chức ,nhƣng tôi thích học chính quy hơn ,ƣớc mơ đó có thể với mọi ngƣời rất đơn 
gi n nhung với mình khó vì gia đình ,cha mẹ ,tiền bạc ph i mƣu sinh vì cuộc sống 
hằng ngày . Trên toàn quốc ,nếu trƣờng nào cần giáo viên nhƣ tôi thì liên hệ số 
điện thoại 01208127776 .Không biết tạp chí toán học có tuyển một cộng tác viên 
trình độ cao đẳng nhƣ tôi không .Lƣơng hợp đồng 15.000đ/tiết quá thấp ,tôi không 
sống đƣợc bằng nghề sƣ phạm , 
 Một người đam mê Toán và tạp c í toán ọc và tuổi trẻ , 
 tạp c í toán tuổi t ơ 
 Ng ĩa T ắng ,Tư Ng ĩa ,Quảng Ngãi 
 Trương Quang An