Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thanh Oai năm học 2015-2016 môn thi: Toán - Trường THCS Xuân Dương

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: Toán 
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (6đ)
Cho biÓu thøc
 P = - + ( víi x≥ 0 ; x≠ 1)
 a) Rót gän biÓu thøc P
 b) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc víi x = + + 2
 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P
Câu 2: (4đ)
Giải phương trình:
Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 A = với x,y,z là các số dương và x2 + y2 + z2 = 1
Câu 3: (3đ)
 a)Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
2x6 + y2 –2 x3y = 320
 b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn .
	Chứng minh rằng: .
Câu 4: (6đ)
 Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông góc với ABtạiI. Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J.
a) Chứng minh: Đường thẳng IJ là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
b) Xác định vị trí của M trên đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất.
Câu 5: (1đ)
	Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn: 2xy + x + y = 83
-----------Hết-----------
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG
ĐÁP ÁN CHẤM THI HGS TOÁN 9 
Năm học: 2015– 2016
Câu
ý
Nội dung trình bày
Điểm
1
 (6đ)
 a. P = - + 
 = 
 = 
 = =.....
 = 
 = 
 b. §Æt y = + 
Û y = 7+5 + 7 - 5 + 3( + ). 
Û y = 14 - 3y
Û y +3y -14 = 0 
Û (y- 2)( y + 2y + 7) = 0 ( vì y + 2y + 1 + 6 ≥ 6)
Û ..Û y = 2 Þ x = 4
Thay x =4 vµo biÓu thøc rót gän cña P ta ®­îc
P = 4
 c. P = = . = +3 + - 6
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ®èi víi 2 sè d­¬ng ta cã
 P = +3 + - 6 ≥ 2 - 6
P ≥ 10 - 6 = 4 VËy Min P = 4 Û +3 = Û x = 4
0,5.
0,5.
0,5
0,5
0,75
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
2
 (4đ)
a
ĐK: hoặc x=0,5
0,5
Biến đổi:
Hoặc (2)
1,0
 Giải (1) được x=0,5 (thỏa mãn),giải (2) được x=5 (thỏa mãn)
0,5
b
A = 
Nên A2 =( vì x2+y2+z2 =1)
 = B +2 
0,75
 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có
Tương tự 
Cộng vế với vế ta được 2B 2
0,75
 Do đó A2 = B +2 3 nên A 
 Vậy Min A = x=y=z= 
0,5
3
(3đ)
a
Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 (x3-y)2 +(x3)2=320
=> (x3)2320 
0,5
mà x nguyên nên 
Nếu x=1 hoặc x=-1 thì y không nguyên (loại)
Nếu x=2=> y=-2 hoặc y=6
Nếu x=-2 => y=-6 hoặc y=2
0,75
Vậy phương trình đã cho có 4 cặp nghiệm (x;y) là:
 (2;-2);(2;6);(-2;-6);(-2;2)
0,25
b
Áp dụng BĐT (với a, b > 0)
0,5
Ta có: 
Tương tự: 
0,5
Cộng vế theo vế, ta có: 
0,5
C 
J 
A 
I 
M 
D 
O 
O’ 
B 
4
(6đ)
1,0
a
Xét tứ giác ACMD có : IA = IM (gt), IC = ID (vì ABCD : gt) ACMD là hình thoi
0,5
AC // DM, mà ACCB (do C thuộc đường tròn đường kính AB)
0,5
DMCB; MJCB (do J thuộc đường tròn đường kính MB)
D, M, J thẳng hàng.
0,5
Ta có : (vì )
Mà (do IC = IJ = ID : CJD vuông tại J có JI là trung tuyến)
(do O’J = O’M : bán kính đường tròn (O’); và đối đỉnh)
0,5
Þ IJ là tiếp tuyến của (O’), 
J là tiếp điểm
0,5
b
Ta có: IA = IMIO’ = = R (R là bán kính của (O))
O’M = O’B (bán kính (O’)
0,5
JIO’ vuông tại I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2
0,5
Mà IJ2 + O’J22IJ.O’J = 4SJIO’
Do đó SJIO’
0,5
SJIO’ = khi IJ = O’J và JIO’ vuông cân
 có cạnh huyền IO’ = R nên :
2O’J2 = O’I2 = R2O’J = 
0,5
Khi đó MB = 2O’M = 2O’J = R
0,5
5
(1đ)
Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: 2xy + x +y = 83
0,5
Do x,y nguyên dương
Ư(167)
Lập bảng tìm được (x,y)=(0;83);(83;0).
0,5