Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thanh Oai năm học 2015-2016 môn thi: Toán - Trường THCS Thanh Thùy

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI 
TRƯỜNG THCS THANH THÙY
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN: TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: (6 điểm) Cho biểu thức: .
 Rút gọn biểu thức P.
Tìm x để P > 0.
Tính giá trị của P với x = 32+5+32-5 
Bài 2: (4 điểm) 
a) Giải phương trình: x+4x-4+x-4 =6-x
b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2
Bài 3: (2 điểm) 
a) Cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn: 11+x+11+y+11+z=2 . Tìm giá trị lớn nhất của Q = xyz
b) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c và có chu vi là 2. Chứng minh rằng: a2 + b2 +c2 + 2abc < 2.
Bài 4: (2 điểm) Cho ΔABC vuông ở A . Biết AB = 3cm , AC = 4 cm. Từ B vẽ tia Bx vuông góc với BC Tại B , Bx cắt CA tai điểm E. trên đoạn thẳng BE lấy F bất kỳ, hạ BH vuông góc với FC tại H.
a) Tính AE.
b) Chứng minh ΔAHC ~ Δ FEC.
Bài 5: (6 điểm) 
Cho hai đường tròn ( O ) và ( O/ ) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O ) và ( O/ ) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E ( O ) và F ( O/ ). Gọi M là giao điểm của AE và DF; N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh rằng:
Tứ giác MENF là hình chữ nhật.
MN AD.
ME.MA = MF.MD.
---------- Hết ----------
Người ra đề Tổ trưởng duyệt Duyệt BGH
HƯỚNG DẪN CHẤM , BIỂU ĐIỂM 
ĐỀ TOÁN 9 NĂM HỌC 2015-2016
Bài
Đáp án
Điểm
1
ĐKXĐ: 
0,5 đ
a)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b)
P > 0 ó x-2x+1>0 
ó x-2>0
 ó x > 4 
Kết luận: x > 4 và x ≠ 9 thì P > 0 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
c)
x = 32+5+32-5
=> x3 = 4 + 3. 34-5.x 
ó x3 + 3x - 4 = 0 
ó x3 – x2 + x2 – x + 4x – 4 = 0 
ó x2(x – 1) + x(x – 1) + 4(x – 1) = 0
ó (x – 1)( x2 + x + 4) = 0
Vì x2 + x + 4 > 0 nên x – 1 = 0 => x = 1 
Vậy P = 1-21+1=-12
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 2
a)
b)
Đk : 4 ≤ x ≤ 6
 x+4x+4+x-4 = 6 − x	
ó x-4+4x+4+4+x-4 = 6 – x
ó x-4+2+x-4 + x – 6 = 0
ó x-4 . (2 + x-4 ) = 0
ó x-4 = 0 ó x = 4 
 (2 + x-4 ) = 0 ( vô lý)
Thử lại : 4+ 0=6 – x ó 2 = 2 
Kết luận : Vậy phương trình có nghiệm : x = 4
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình
 2x2 + 4x = 19 – 3y2
ó 2x2 + 4x + 2 = 21 – 3y2
ó 2(x2 + 2x + 1) = 3(7 – y2)
ó 2(x+1)2 = 3(7 – y2)
7 – y2 > 0
7 – y2 ⋮ 2 
 y2 là số lẻ , mà 7 – y2 > 0
 y chỉ có thể là ±1
2(x+1)2 = 3.6 = 18
ó (x+1)2 = 32
ó x = −4 ; x = 2
(x,y) = (-4, 1) ; (-4, -1) ; (2, -1) ; (2,1)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 3 
a)
 11+x+11+y+11+z=2
11+x= y1+y+z1+z ≥ 2y1+y.z1+z
Tương tự : 11+y=x1+x+11+z ≥ 2x1+x.z1+z
	11+z=x1+x+11+y ≥ 2x1+x.y1+y
Nhân vế với vế ta được :
11+x.11+y.11+z ≥ 2.2.2(xyz)21+y2.(1+z)2.(1+x)2 = 8. xyz1+y.1+z.(1+x)
ó 1 ≥ 8xyz
ó 18 ≥ xyz hay xyz ≤ 18
Max Q = 18 khi x = y = z = 12
0,5đ
0,5đ
0,5đ)
(0,5đ)
b)
Ta có:
0 2a a < 1
0 2b b < 1
0 2c c < 1
=> (a – 1) (b – 1) (c – 1) < 0
ó abc – (ac +ab + bc) + (a+b+c) < 1
ó 2abc – 2(ac +ab + bc) + (a+b+c)2 < 2 (vì a + b + c = 2)
ó 2abc + a2 + b2 + c2 < 2 (đccm)
0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
Bài 4:
E
vẽ hình đúng 
AB2 = CA. AE
A
=> AE = AB2CA=94 
CH. CF = BC2 (△ HBC ~ △ BFC)
H
F
CA. CE= BC2 (△ ABC ~ △ BEC)
=> CH. CF = CA. CE	
=> CHCE=CFCA
 Góc C chung 
=> △ AHC ~ △ FEC (c.g.c)
C
B
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 5
0,5đ
a)
Ta có 
Góc AEB = GócCFD = 900 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
Vì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O/), nên:
OE EF và OF EF => OE // O/F
 Góc EOB= Góc FO’D (góc đồng vị) => góc EAO = góc FCO’ 
Do đó MA // FN, mà EB MA => EB FN
Hay góc ENF = 900.
Tứ giác MENF có , nên MENF là hình chữ nhật
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b)
Gọi I là giao điểm của MN và EF; H là giao điểm của MN và AD
Vì MENF là hình chữ nhật, nên góc IFN = góc INF
Mặt khác, trong đường tròn (O/):gocsIFN= góc FND = ½ sđ cung FC
=>góc FDC = góc FDC
Suy ra đồng dạng (g – g)
=> góc NHC= góc DFC = 900 hay MN AD
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
c)
Do MENF là hình chữ nhật, nên góc MFE = FEN
Trong đường tròn (O) có: góc FEN = góc EAB =1/2 sđ cung EB
=>gócMEF = EAB
Suy ra đồng dạng (g – g)
=>, hay ME.MA = MF.MD
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Lưu ý: Nếu học sinh giải theo cách khác, nếu đúng và phù hợp với kiến thức trong chương trình đã học thì hai Giám khảo chấm thi thống nhất việc phân bố điểm của cách giải đó, sao cho không làm thay đổi tổng điểm của bài (hoặc ý) đã nêu trong hướng dẫn này./.
NGƯỜI SOÁT TỔ TRƯỜNG DUYỆT BGH