Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thanh Oai năm học 2015-2016 môn thi: Toán - Trường THCS Thanh Cao

PHềNG GIÁO DỤC HUYỆN 
THANH OAI
 ( Trường THCS Thanh Cao )
 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
 Năm học ( 2015 –2016)
 Mụn TOÁN : (Thời gian làm bài 150 phỳt)
Bài 1: (6,0 điờ̉m)
1. Cho biểu thức: 
 a/ Rỳt gọn P 
 b/ Tớnh P khi x= 
 c/ Tỡm GTNN của P
2. Chứng minh rằng với mọi n nguyờn dương thỡ: 
Bài 2: (4,0 điờ̉m)
Giải phương trỡnh sau: x2 +3x +1 =(x + 3)
Chứng minh rằng :Nếu x + y + z = 0 thỡ 2.(x5 + y5+ z5) = 5xyz(x2 + y2+ z2)
Bài 3: (3,0 điờ̉m)
Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh sau
19x5 + 5y +1995z =x2 –x +3
Cho a,b,c >0 và . 
Bài 4 (6,0 điờ̉m) 
 Cho (0;). Điểm M thay đổi trờn (0), (MA,B). Vẽ (M) tiếp xỳc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD đến (M). Cmr
a/ CD là tiếp tuyến (0)
b/ Tổng AC+DB khụng đổi. Từ đú tớnh GTLN của AC.DB
c/ Lấy N cố định trờn (0). Gọi I là trung điểm của MN, P là hỡnh chiếu của I trờn MB. Tỡm tập hợp điểm P 
Bài 5: (1,0 điờ̉m) 
 Một học sinh viết dóy số sau: 49,4489,444889, 44448889,.. (Số đứng sau được viết 48 vào giữa số đứng trước). Chứng minh rằng tất cả cỏc số viết theo quy luật trờn đều là số chớnh phương.
.......................................................................... HẾT..
phòng Giáo dục & Đào tạo
Thanh oai
 ( Trường THCS Thanh Cao )
Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2015 - 2016
Hướng dẫn chấm thi olympic
Năm học 2011 - 2012
Môn thi : Toán Lớp 7
Bài 1: (6,0 điờ̉m)
1. a ) Rỳt gọn 2đ
 b) Tớnh x=1 đkxđ . Suy ra p= 1đ 
 c) Pmin=4 khi x=4 . 1đ
2. =7.25n + 19.6n – 7.6n 1đ
 =7.19.(.....) + 19.6n 19 1đ
Bài 2: (4,0 điờ̉m)
Đặt =t (tphương trỡnh đó cho trở thành
t2+3x=(x+3).t t=3 hoặc t=x 1đ
+) Với t=3 => x=
+) Với t=x => vụ nghiệm 1đ
Từ x + y + z = 0 y + z = -x (y + z)5 = - x5
y5 + 5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 +5yz4+z5 = - x5
( x5 + y5+ z5) + 5yz(y3 +2y2z + 2yz2 +z3) = 0
 ( x5 + y5+ z5) + 5yz((y +z)(y2 – yz +z2)+2yz(y + z)) = 0 1đ
( x5 + y5+ z5) + 5yz(y + z)( y2 + yz +z2)= 0
( x5 + y5+ z5) - 5xyz( y2 + yz +z2)= 0
2 ( x5 + y5+ z5) - 5xyz( y2 + 2yz +z2 + y2 +z2)= 0
2 ( x5 + y5+ z5) = 5xyz( y2 + 2yz +z2 + y2 +z2)
2 ( x5 + y5+ z5) = 5xyz(( y + z)2 + y2 +z2)
2 ( x5 + y5+ z5) = 5xyz( x2 + y2 +z2) ( đpcm) 1đ
Bài 3: (3,0 điờ̉m)
20x5 –(x5-x)+5y+1995z=x2+3 0,5đ
20x5-(x-2)(x-1).x.(x+1)(x+2)-5(x-1)x(x+1)+1995z=x2+3 0,5đ
Ta thấy VT5 con VP khụng chia hết cho 5 nờn pt vụ nghiệm 0,5đ
Đặt 0,5đ
a= 0,5đ
Biểu thức đó cho (luõn đỳng)
Dấu “=” xảy ra khi x=y=z 0,5đ
Bài 4 (6,0 điờ̉m) 
a/ Tớnh gúc CMD=1800 => C, M, D thẳng hàng =>đpcm 2đ
b/ AC+DB=AB khụng đổi 0,5đ
 AC.BD (BĐT cosi) 0,5đ
=>(AC.BD)max = khi AC=BD H0M chớnh giữa cung AB 1đ
c/ Gọi K là giao của PI và AN
 Vỡ IK//AM =>K là trung điểm của AN =<K cố định 1đ
 =>KB cố định =>P chuyển động trờn dường trũn đường kớnh KB 1đ
Bài 5: (1,0 điờ̉m) 
Ta cú:
A = = 9 + 8.10 + 8.102 ++ 8.10n + 4.10n+1 + +10n+2+4.102n+1
Ta viết 9 = 1+4+4 và 8 = 4+4	 ta được:
 A=1+4+4+(4+4).10+(4+4).102++(4+4).10n+4.10n+1+4.10n+2++4.102n+1
 = 1+(4+4.10+4.102++4.10n)+(4+4.10+4.102++4.102n+1)
 = 1+4.(1+10+102++10n)+4.(1+10+102++102n+1) 0,5đ
 = 1+4.+4. 
 =
 =
 =
Ta cú: 2.10n+1+13 (Cú tổng cỏc chữ số chia hết cho 3) Nờn số trong ngoặc tạo thành một số chớnh phương. Suy ra A là số chớnh phương 0,5đ