Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thanh Oai năm học 2015-2016 môn thi: Toán - Trường THCS Đỗ Động

PHÒNG GD& ĐT THANH OAI
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016
TRƯỜNG THCS ĐỖ ĐỘNG
MÔN : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (6 điểm)
1.(4đ) Cho biểu thức: với 
 a) Rút gọn M.
 b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức nhận giá trị nguyên.
2.( 2đ) Tính giá trị của biểu thức với ; 
Câu 2: (4 điểm)
1.(2đ)	 Giải phương trình: 
2.(2đ) Với a; b là các số thực dương thỏa mãn .
 Tìm giá trị lớn nhất của P = ab2 
Câu 3 : (4 điểm)
1.(2đ) Tìm các số nguyên (x,y) thỏa mãn: 5x2 + 13y2 + 6xy = 4(3x – y)
2.(2đ) Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Chứng minh bất đẳng thức sau:
 a2a-1+2b2b-1+3c2c-1≥24
Câu 4 : (5 điểm) 
 Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B). Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tiếp tuyến Ax. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của cắt nửa đường tròn O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K.
Chứng minh 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh .
Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn O để chu vi đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo R?
Câu 5 (1.0 điểm). Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng:
.
-------Hết -----
PHÒNG GD& ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS ĐỖ ĐỘNG
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN : TOÁN
Đáp án và hướng dẫn chấm
Điểm
Câu1
6đ
1
(4đ)
a
 ĐKXĐ (*)
Vậy với (*)
0,25
2,25
b
Ta có 
Do nên 	
 do đó N nguyên thì N = 1
Vậy N nguyên khi 
0.25đ
0,5đ
 0,5đ
0,25đ
2
(2đ)
Ta có: 
0,75
0,75
0,5
Câu 2
4đ
1
(2đ) 
ĐK: . PT đã cho tương đương với:
* x = 0 là nghiệm
* Giải 
Đặt ; ta thu được 
(TM)
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm: , 
0.5đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
2
(2đ)
Theo BĐT Cô – si cho hai số dương ta có:
Suy ra : 
Mà 
Dấu bằng xảy ra . Vậy Pmax = tại 
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Câu 3 
4 đ
1
(2đ)
PT tương đương 
Mà 10 chỉ có thể biểu diễn dưới dạng tổng 3 bình phương :
 10 = 02 + 12 + 32 và 2x – 3; 2y + 1 là số lẻ nên:
 (*) hoặc (**)
Xét hệ (*) từ Phương trình đầu 
PT vô nghiệm
Xét hệ (**) 
Đáp số: x = y = 0; x = 3, y = -1
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2
(2đ)
Đặt P = a2a-1+2b2b-1+ 3c2c-1 
P =	 a2-1+1a-1+2b2-2+2b-1+3c2-3+3c-1
P = a+1+1a-1+2b+1+2b-1+3c+1+3c-1 
P = a-1+1a-1+2b-1+2b-1+3c-1+3c-1+12
Do a,b,c>1 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có :
P ≥ 2a-11a-1+22b-12b-1+23c-13c-1+12 =24
Vậy P≥24 (đpcm)
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2.
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
Câu 4 
5đ
Hình vẽ x
 I
 F 
 M 
 H E K 
 A O B
a
Ta có M, E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB nên và .
0.5
Vậy 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên đường tròn đường kính FK
0.25
b
Ta có cân tại A nên AH = AK (1)
0.25
K là trực tâm của nên ta có suy ra FK // AH (2)
0.25
Do đó mà (gt) cho nên 
0.25
Suy ra AK = KF, kết hợp với (1) ta được AH = KF (3)
0.25
Từ (2) và (3) ta có AKFH là hình bình hành nên HF // AK. Mà suy ra .
0.25
c
Chu vi của lớn nhất khi chỉ khi MA + MB lớn nhất (vì AB không đổi).
0.25
Áp dụng bất đẳng thức dấu "=" xảy ra , ta có 
0.25
Nên MA + MB đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi 
MA = MB hay M nằm chính giữa cung AB.
0.25
Vậy khi M nằm chính giữa cung AB thì đạt giá trị lớn nhất. Khi đó
0.25
Câu 5
1đ
Đặt , ta có là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5. Nhưng không chia hết cho 5, do đó A chia hết cho 5.
0.25
Nếu , ta có chia hết cho 5 mà 11879 không chia hết cho 5 nên không thỏa mãn, suy ra y = 0.
0.25
Khi đó , ta có 
0.25
.
Vậy là hai giá trị cần tìm.
0.25
Chú ý: HS có thể giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
Giáo viên ra đề
Nguyễn Đình Tuấn
Tổ ký duyệt
Ban giám hiệu duyệt