Đề thi học sinh giỏi lớp 8 môn Toán năm học 2010 – 2011

ĐỀ THI HSG LỚP 8
Năm học 2010 – 2011
Bài 1: Cho biểu thức M = :
a) Rút gọn M
b)Tính giá trị của M khi = 
Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử.
b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0.
Bài 3: 
a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
 A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + 5
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau :
 B =	
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD . Với AB = a ; AD = b. Từ đỉnh A , kẻ một đường thẳng a bất kỳ cắt đường chéo BD tại E, cắt cạnh BC tại F và cắt tia DC tại G.
a) Chứng minh: AE2 =EF.EG
b) Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG không đổi.
Bài 5. Chứng minh rằng nếu Với x y ; xyz 0 ; yz 1 ; xz 1.
Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) 
 Giải
 Bài 1: a) Rút gọn M
M=:=:
 M = = 
b)Tính giá trị của M khi = 
 = x = hoặc x = - 
Với x = ta có : M ===
Với x = - ta có : M === 
Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử.
 Ta có : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 - a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a)
b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0.
Ta có: (b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác) 
(b+c +a) >0 ( BĐT trong tam giác)
(b-c -a) <0 ( BĐT trong tam giác)
(b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác)
 Vậy A< 0
Bài 3: a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
 A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + 5
Ta có : A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y +4 + 1
 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 1
 Do (x-y)2 0 ; (y - 2)2 0
Nên A= (x-y)2 + (y - 2)2 + 11
Dấu ''='' xãy ra x = y và y = 2
Vậy GTNN của A là 1x = y =2
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau :
 B == == 
Do x2 +1>0 nên B = 3. Dấu ''='' xãy ra x = 0
Vậy GTLN của B là 3x = 0 
Bài 4: 
a) Chứng minh: AE2 =EF.EG
Do AB//CD nên ta có:
 = (1)
Do BF//AD nên ta có:
 = (2)
Từ (1) và (2) Hay AE2 = EF. EG
b). CMR khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG không đổi.
Từ (1) và (2) Hay BF.DG = AB.AD = ab (không đổi)
Bài 5: Chứng minh rằng nếu Với x y ; xyz 0 ; yz 1 ; xz 1.
Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)
Từ GT (x2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz) 
x2y- x3yz-y2z+xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2 
x2y- x3yz - y2z+ xy2z2 - xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 = 0
xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) = 0
xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0
(x -y) = 0
Do x - y 0 nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0
Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm)
 Hoàng Minh NGụ Trường trung học cơ sở Phong Bắc