Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT cấp thành phố hồ chí minh năm học 2011 - 2012 môn Toán

 Sở Giáo dục và Đào tạo KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12  THPT 
Thành phố Hồ Chí Minh CẤP THÀNH PHỐ 
 ________________ Năm học 2011  2012 (khố ngày 14/3/2012) 
MƠN TỐN 
Thời gian làm bài: 150 phút 
________________ 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
Bài 1. (4 điểm) 
Giải các phương trình sau : 
a) sin2 cos2 tan 2x x x  
b) 
3
sin 2 sin
4
x x
 
  
 
Bài 2. (4 điểm) 
Giải các phương trình sau : 
a) 
33 2 2
10 2 7 23 12x x x x x     
b) 
2
(3 2) 2 3 2 3 6x x x x    
Bài 3. (4 điểm) 
a) Cho 3 số dương , ,a b c thoả điều kiện 1abc  . Chứng minh :
1 1 1
1
1 1 1a b b c c a
  
     
b) Cho các số thực , , 1;2a b c     và 0a b c   . Chứng minh :
2 2 2
6a b c  
Bài 4. (3 điểm) 
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ các cạnh đều bằng a . Gọi M là một điểm trên cạnh
CD sao cho 
1
.
3
CM CD Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp chĩp S.AMB
Bài 5. (2 điểm) 
Cho các số thực , , (0;1)x y z và 1.xy yz zx   Chứng minh
2 2 2
3 3
1 1 1 2
x y z
x y z
  
  
Bài 6. (3 điểm) 
Giải hệ phương trình : 
2 2 2
2 2 2
2 4 7
2 6 3
x y y xy
x y y xy
   

  
HẾT 
 Sở Giáo dục và Đào tạo KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12  THPT 
Thành phố Hồ Chí Minh CẤP THÀNH PHỐ 
 ________________ Năm học 2012  2013 (khố ngày 14/3/2013) 
MƠN TỐN 
Thời gian làm bài: 150 phút 
________________ 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
Bài 1. (4 điểm) 
Giải các phương trình : 
a) 
2
8( 3) 1 22 7 0x x x x     
b) 
2 2
sin (4cos 1) cos (sin cos sin3 )x x x x x x   
Bài 2. (4 điểm) 
Giải hệ phương trình : 
2
2
2
1
1
6 1
xy y x
x
xy y
x y y y
x
  
  

    

Bài 3. (3 điểm) 
Cho 3 số dương , ,a b c thoả điều kiện
2 2 2
3a b c   . Chứng minh rằng:
1 1 1
3
2 2 2a b c
  
  
Bài 4. (3 điểm) 
Tìm mđể phương trình: 
4 3 2
( 1) 2 1 0x mx m x x      khơng cĩ nghiệm
thực. 
Bài 5. (4 điểm) 
Cho hình chĩp đều S.ABCD cĩ các cạnh đều bằng a . Gọi M là trung điểm của
CD. 
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SC.
b) Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp chĩp S.AMC
Bài 6. (2 điểm) 
Tính: 
1 0 2 1 3 2 4 3 2011 2010 2012 2011
2011 2011 2011 2011 2011 2011
2 2 2 2 2 2
...
1.2 2.3 3.4 4.5 2011.2012 2012.2013
C C C C C C
A       
HẾT 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 
NĂM HỌC 2011 – 2012 (Ngày thi 14/3/2012) 
Bài 1 : 
a/ sin2x + cos2x + tanx = 2 (1) đ/k : cosx  0 
Cách 1 : 
2 2
2 2 2 2
2sin cos cos sin
(1) tan 2
cos sin cos sin
x x x x
x
x x x x

   
 
2
2 2
2tan 1 tan
tan 2
1 tan 1 tan
x x
x
x x

   
 
Đặt tanx = t  t3 – 3t2 + 3t – 1 = 0  (t – 1)3 = 0  t = 1 
 tanx = 1  
4
x k

  , kz 
Cách 2 : Do cosx = 0 khơng là nghiệm đặt t = tanx ta cĩ : 
2
2
sin2
1
t
x
t


 , 
2
2
1
cos2
1
t
x
t



Phương trình trở thành t3 – 3t2 + 3t – 1 = 0  (t – 1)3 = 0  t = 1 
b/ 3sin 2 sin
4
x x
 
  
 
. Ta cĩ :  
1
sin sin cos
4 2
x x x
 
   
 
  
3
3 1
sin sin cos
4 2 2
x x x
 
   
 
 Pt  (sinx – cosx)3 = 4sinx(sin2x + cos2x) = 4sin3x + 4sinxcos2x 
 sin3x – 3sin2xcosx + 3sinxcos2x – cos3x = 4sin3x + 4sinxcos2x 
 3sin3x + sinxcos2x + 3sin2xcosx + cos3x = 0 
cosx = 0 khơng thỏa phương trình  3tan3x + 3tan2x + tanx + 1 = 0 
 tanx = – 1  
4
x k

   (kz) 
Bài 2 : 
a/ 
33 2 2
10 2 7 23 12x x x x x     
Cách 1 : 
33 2 2 2
6 13 10 7 23 12 7 23 12pt x x x x x x x          
    
3 3 2 2
2 2 7 23 12 7 23 12x x x x x x          
Xét f(t) = t
3
 + t  f ’(t) = 3t2 + 1  0 tR  f(t) đồng biến trên R 
 
3 2
( 2) 7 23 12f x f x x
 
    
 
  
3 2
7 23 12 2x x x    
4
3 5
2
3 5
2
x
x
x

 
 
 

 


Cách 2 : Đặt 
3 2
2
7 23 12
u x
v x x
  

  
  
 
 
3 2
3 2
7 22 10
7 22 10
u x x v
v x x u
    

   

 3 3u v v u      2 2 1 0u v u uv v     

2 2 2
1 0 ( 3 4 0)
u v
u uv v vô nghiệm vì v
 

       
3 2
2 7 23 12u v x x x      (Cách giải giống trên) 
b/   23 2 2 3 2 3 6x x x x     
Cách 1 : Đặt 
2
3
2 3 0
2
t
x t x

    
Phương trình trở thành t4 – 3t3 + 9t2 – 13t + 6 = 0  t = 1  x = 2 
Cách 2 : Đặt 2 3 0x t   phương trình   2 23 2 2 3x t x x t    
  2 22 2 2 3 0t x t x x      ,  
2
2
8 16 4 0x x x        
2 3
1
t x
t x
  
  
Với 
2
2 3 0
2 3 2 3 2 3
2 3 4 12 9
x
t x x x
x x x
  
       
   
2
3
2
4 10 12 0 /
x
x x v n

 
 
   
Với 
2
1 0
1 2 3 1
2 3 2 1
x
t x x x
x x x
  
       
   
2
1
2
4 4 0
x
x
x x
 
  
  
Bài 3 : 
a/ a, b, c  0 thỏa abc = 1. Chứng minh : 
1 1 1
1 (1)
1 1 1a b b c c a
  
     
. 
Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3 với xyz = 1 
 
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
x y xyz y z xyz x z xyz
   
     
Ta cĩ : x
3
 + y
3
  xy(x+y) thật vậy x3 + y3  xy(x+y)  x2 – xy + y2  xy 
 x2 – 2xy + y2  0  (x – y)2  0 đúng. 
 x3 + y3 + xyz  xy(x + y) + xyz = xy(x + y + z) 
Tương tự : 
 3 3
3 3
3 3
1 1
1
1
z
x y zxy x y zx y xyz
x
x y zy z xyz
y
x y zx z xyz

   
    

 
   

    
 cộng vế với vế 
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
x y xyz y z xyz x z xyz
   
     
 đpcm 
b/ a, b, c  [– 1; 2] và a + b + c = 0. Chứng minh : a2 + b2 + c2  6 
a  [– 1; 2]  a – 2  0 , a + 1  0  (a – 2)(a + 1)  0  a2  a + 2 
 Tương tự : b2  b + 2 , c2  c + 2 
 a2 + b2 + c2  a + b + c + 6 = 6 đpcm 
Bài 4 : 
 Gọi O là hình chiếu của S trên ABCD.Từ GT  ABCD là hình vuơng, O là tâm 
của hình vuơng. Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho AC  Ox , BD  Oy , SO  z 
 
2 2 2
;0;0 , 0; ;0 , ;0;0
2 2 2
a a a
C B A
     
     
     
     
2
2
2 2 2 22 2 2
0;0;
2 2 2 2
a a a a
SO SC OC a a S
   
          
   
   
2 2
; ;0
3 6
a a
M
 
 
 
 
 , Gọi I là tâm của cầu ngoại 
tiếp chĩp S.AMB.Giả sử I (x,y,z) Ta cĩ : 
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2 2 2 3
6
9 3 2
a
IA x a x y z
a
IB x y a y z
a
IS x y a z z
a a a
IM x x a y y z
    
    
    
      
M 
O 
D 
B C 
A 
S 
z 
y 
x 
27
15 2 9 6
7
15 2 9 6
2 2 7
72
3 9
15 2 9 6
a
x
IA IB x y
a
IA IS x z y
IA IM a x a
aa x a y
z
 
 
   
  
       
   
   
 

 Tâm I và R. 
Bài 5 : x, y, z  (0, 1) và xy + yz + zx = 1 
Chứng minh : 
2 2 2
3 3
21 1 1
x y z
x y z
  
  
Cách 1 : Xét hàm số f(t) = t – t3 t  (0,1)  f ’(t) = 1 – 3t2 
f’(t) = 0  3t2 = 1  
1
3
t  
 Bảng biên thiên 
 
2 3
9
f t  đẳng thức xảy ra  
1
3
t 
Với x = t   
   
2
2 2
2
2 3 1 9 3 3
1
9 22 31 1
x
x x x
x x x x
     
 
 
2
2
2 3
91
x
x
x
 

 . Tương tự 2
2 2
3 3 3 3
,
2 21 1
y z
y
y z
 
 
Cộng vế với vế 
   2 2 2
2 2 2
3 3 3 3 3 3
2 2 21 1 1
x y z
x y z xy yz zx
x y z
        
  
Đẳng thức xảy ra  
1
3
x y z  
Cách 2 : 
   
 
2 2 2
2
2 23
2 1 1
2
2 1
3 3
x x x
x x
   
  
t
f '(t)
f(t)
 
1 0 
+ 0 
2 3
9
1
3
   
2
2 2 2 28 4
2 1 1
27 27
x x x x       
 
2 2
2
2 3 3
1
23 3 1
x
x x x
x
   

Tương tự : 
   
2 2
2 2
3 3 3 3
,
21 1
y z
y z
y z
 
 
 Cộng vế với vế  đpcm. 
Cách 3 : Đặt  tan , tan , tan tan , tan , tan 0;1
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
x y z

    
 
A, B, C là 3 gĩc của 1 tam giác 00  A, B, C  900 
bđt  tan tan tan 3 3 (*)A B C   
Theo cơsi ta cĩ 3tan tan tan 3 tan .tan .tanA B C A B C  
   
3
tan tan tan 27 tan tan tanA B C A B C     
 (Vì tanA+tanB+tanC = tanA.tanB.tanC) tan tan tan 27 3 3A B C     đpcm. 
Cách 4 : Ta luơn cĩ 
2
6 3
(*)
21
x x
x



Thật vậy   2(*) 2 6 3 1x x x     
2
3
6 3 3 0
3
x x
 
    
 
 
 đúng 
Tương tự cộng vế với vế : 
   6 3 3 36 3 3 3 3
2 2 2
xy xz yzx y z
VT
    
  
Cách 5 : Ta luơn cĩ : 
 
 
2
1 3 3
(1) 0;1
21
x
x x
  

Thật vậy :      
2
2 2 22
1 1 1
273 3
x x x x     
  
3
2 2 2
2 2 21 1 2 1 1 4
2 1 1
2 2 3 27
x x x
x x x
              
 đúng. 
 
2
22
1 3 3 3 3
2 11
x
x
xx x
   

Tương tự : 2 2
2 2
3 3 3 3
,
2 21 1
y z
y z
y z
 
 
. Cộng vế với vế  đpcm. 
Bài 6 : 
 
2 2 22 2 2
2 22 2 2
4 4 2 32 4 7
2 3 22 6 3
x y xy y xyx y y xy
x y y xyx y y xy
        
 
      
 
 
2
2
2 2
2 3 2 (1)
2
2 (2)
3
xy xy y
x y
xy
y

  

  
 

 (do y = 0 khơng là nghiệm) 
Từ (1) và (2) 
2
2 2
22
3 2
3
x y
xy y
y
 
   
 
 
.Vì y  0 chia 2 vế cho y2 ta được 
2
2 2 2
2 2
2 3 2
3
x y xy y
y y
  
 
 
 
2
2
1 2
3 2
3 3
x x
y y
  
     
   
Đặt 
2
2
4 22
3 2 4 27 22 0
3 3
x t
t t t t t
y
 
          
 
 
   21 2 3 11 0t t t t      1
2
t
t
 
  
Với 1 1
x
t x y
y
     Thay vào (1)  
2
2 2 2
2 3 2x x x   
 
2
2 2
2x x   
2 2
2 2
1
2 2 0 2
12 2 0
2
x
x x x x x
xx x x x
x
  
      
    
       
 
 nghiệm của hệ : (–1, 1) , (2, 2) , (1, 1) , (–2, –2) 
Với 2 2 2
x
t x y
y
     thay vào (1) 
1 5
2
1 5
2
y
y
 


 

1 5
1 5
x
x
  
 
  
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 
NĂM HỌC 2012 – 2013 (Ngày thi 14/3/2012) 
Bài 1 : Giải phương trình 
a)    2 8 3 1 22 7 0 1x x x x     
Cách 1: 
   
2
2
3 0
1 3 4 1 0 3 4 1
6 9 16 16
x
x x x x
x x x
  
          
   
2
3 3
5
510 25 0
x x
x
xx x
     
    
   
Cách 2 : 
Đặt  1 0x t t  
  4 3 21 8 24 32 16 0t t t t         2 22 4 4 0 2t t t t       
Với t = 2  1 2 5x x    
b)    2 2sin 4 1 cos s cos sin3x cos x x inx x x   
sin4 4 1 2 sin 4 1
4
x cos x x
 
      
 
 
4 2
2
8 24 4
sin 4
34 2
4 2
4 4 4 2
k
xx k
x k
k
x k x
  

   


     
      
       
 
Bài 2 : 
 
 
2
2
2
1
1
1
6 1 2
xy y x
x
xy y
x y y y
x
  

  

    

 Điều kiện: 
2
0
1
0
1 0
x
y
x
xy y
 

 

  
  3 2 2 21 0x y x y x xy x y      
      2 0 1 0x y x y x y x x y x y x y x           
 
 2
3
1 0 4
x y
x y x
 
 
  
x = y thay vào (2) 2
1
6 1 1 6x x x x x x x x
x x
          
1 1 1
6x x x
x x x
 
          
 
Đặt 
 
 
2 2
31
0 6 6 0
2
t L
x t t t t t
t Nx
  
            

Với t = 2 2
1 2 3
4 4 1 0
2 3
x
x x x
x x
  
        
 
Nghiệm của hệ    2 3,2 3 , 2 3,2 3   
2
2
2
2
1 1
1 0
1
16 1
6 1
yx y x
x x
x y y y
x y y yx
x

       
 
         
vơ nghiệm vì 
2
1
0 0 x
x
   
Bài 3 : , , 0a b c  thỏa 2 2 2 3.a b c   Chứng minh 
1 1 1
3
2 2 2a b c
  
  
Cách 1: Từ giả thiết 
0 2
0 2
0 2
a
b
c
  

  
  
 (*) 
Xét hàm số:    22 0f t t t t   ,  ' 2 2 0 1f t t t    
BBT: 
Từ BBT   1 0f t t    .Đẳng thức xảy ra 1t 
Áp dụng cho , ,a b c ta cĩ: 
2
2 2 2
2
2 1 ( *)
22
a
a a a do a
aa a
     

Tương tự 2
2
b
b
b

 ,
2
2
c
c
c


Cộng vế với vế ta được 
2 2 2
3
2 2 2
a b c
a b c
a b c
     
  
 1 1 1 6
2 2 2
a b c
a b c
      
  
2 2 2 1 1 1
6 3
2 2 2 2 2 2a b c a b c
       
     
 (đpcm). 
Đẳng thức xảy ra 1a b c    
Cách 2: 
Ta cĩ  
2
2
2 2 2
2
1 0 2 1 0 2 1
2
a
a a a a a a
a a
          

t 
f'(t) 
f(t) 
 
1 
0 
+ 
1 
0 
+ 
Trở lại cách giải bên trên 
Bài 4: Tìm m để pt  4 3 21 2 1 0x mx m x x      khơng cĩ nghiệm thực 
4 3 2 2
2 1 0x mx mx x x          
2
4 2
1 1 0x x x m x      
 Pt khơng cĩ nghiệm thực 1x  
 
2
4 2 2 2
2
1 0 1 0
1 1 1
1
x x x x
pt m m
x x x
x
   
          
         
 Đặt   
2
;0 4;
1
x
t t
x
    
. Ta được  
2
2 1
1 1
t
t mt m
t

   
Đặt    
2 2
2
1 1
, ' 0 1
t t
f t f t t
t t
 
     
BBT 
 Pt khơng cĩ nghiệm thực 
17
2
4
m  
Bài 5: 
Gọi O là tâm của đáy  SO ABCD 
, ,
2 2
a a
OM MC SC a  
2 2
2 2 3
4 4
a a
SM a   
2 2 2
2 3 2 2
4 4 4 2
a a a a
SO SO    
Cách 1: 
a) Từ C dựng đường thẳng song song AM
cắt AB tại M’  
M’A = M’B, 
2
2 5
'
4 2
a a
M C a  
Dựng ' 'OE M C SE M C   ( đl3 đường vuơng gĩc) 
I K 
M' 
M 
O 
D 
B 
C 
A 
S 
y 
x 
E 
F 
z 
t 
f '(t) + +  
f(t) 
1 
0 + 
0 
0 
1
2
4 
  
+ 

+ 

 
17
4
Dựng  'OF SE OF SM C   OF SC 
  ' 'OF M C doM C SOE   mà  ' '/ / ,M C AM d AM SC OF 
.
' ' . 2 2
' ' 5 2 5
2
a a
OE M O M O MC a
OE
MC M C M C a
    
2 2 2 2 2 2
1 1 1 20 4 22 22
222
a
OF
OF OE SO a a a
      
b) Gọi K là trung điểm của CM, qua K kẻ đường thẳng song song BC cắt BD tại I  I
là tâm đường trịn ngoại tiếp  AMC ( vì ,IK MC IO AC  ) 
  IA = IC = IM mà 2 2 2IC IK KC 
2 2 2 2
23 3 9 5
4 4 16 16 8
a a a a
IK BC IC     
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 5
4 4 4 8 8
a a a a a
IS SO IO
 
       
 
 
5 10
48
a a
IS IC R    
Cách 2: 
a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho , ,AC Ox BD Oy OS Oz  
 
2 2 2 2 2
0,0,0 , ,0,0 , 0,0, , , ,0 , ,0,0
2 2 4 4 2
a a a a a
O A S M C
       
        
       
       
2 2 3 2 2 2
,0, , , ,0 , ,0,0
2 2 4 4 2
a a a a a
SC AM AC
     
       
     
     
2 2 2 3
3 2
, , , , .
4 4 4 8
a a a a
SC AM SC AM AC
        
    
 
 
3
3
2
4 4 4
2
2
, . 8 228
,
2211, 9
416 16 16
a
a
SC AM AC
a
d AM SC
aSC AM a a a
 
 
    
 
   
b) Gọi I(x,y,z) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chĩp S.ABCD
Ta cĩ: 
2 2
, , , , ,
2 2
a a
AI x y z SI x y z
   
      
   
   
2 2 2
, , , , ,
4 4 4
a a a
MI x y z CI x y z
   
       
   
   
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 0
2
2 2 2
2 4 4
02 2
a x a z x
AI SI
a a a
AI MI a x a x a y y
AI CI
za x a x
        
           
      
2 40 10
0, ,0 ,
4 8 4
a a a
I AI R
 
     
 
 
Câu 6: 
Xét    
2011
0 1 2 2 3 3 2011 2011
2011 2011 2011 2011 2011
1 ...f x x C C x C x C x C x       
     2011 0 1 2 2 3 3 2011 20112011 2011 2011 2011 20111 11 ...
2 2
g x x x x C C x C x C x C x       
       
2 2 2 2
2011 2011
0 0 0 0
1
1
2
A f x dx g x dx x dx x x dx        