Đề thi học sinh giỏi huyện Thạch Hà năm học 2016 – 2017 môn thi: Toán 9

PHÒNG GD&ĐT THẠCH HÀ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn thi: Toán 9
Thời gian làm bài 150 phút
Câu 1: 
 a) Tính giá trị của đa thức tại 
 b) So sánh và 
 c) Tính giá trị biểu thức: với 00 < x < 900
 d) Biết là số vô tỉ, hãy tìm các số nguyên a, b thỏa mãn: 
Câu 2: Giải các phương trình sau:
 a) 
 b) 
Câu 3: 
 a) Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 5
 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – xy + y2 – 4 = 0 
 c) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n4 + 4n là hợp số.
Câu 4: 
Chứng minh rằng 
Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện 
Tìm giá trị lớn nhất của tích (a + b)(b + c)(c + a).
Câu 5: Cho nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H. Gọi chân các đường vuông góc hạ từ D xuống AB, AC lần lượt là E và F
Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC
Giả sử HD = AD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3
 c) Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến BI và CK. Chứng minh rằng: 4 điểm E, M, N, F thẳng hàng.
------------------HẾT-----------------
Họ và tên thí sinh:SBD:
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm, học sinh không dùng máy tính bỏ túi )
SƠ LƯỢC GIẢI
Đề thi chọn HSG cấp huyện năm học 2016 – 2017
MônToán 9 (Thời gian làm bài 150 phút)
Câu
Ý
Đáp án
Câu 1
a)
=
b)
Ta có 
Vậy > 
c)
d)
ĐK: (*)
 (*)
Ta thấy (*) có dạng trong đó A, B , nếu vô lí vậy B = 0 => A= 0.
Do đó (*)
 (không t/m ĐK (*)). Vậy a = 9; b = 4 
Câu 2
a)
ĐK (**)
 (2)
+ Trường hợp : x + 3 = 0 (TMĐK (**)
+ Trường hợp : x + 3 0 
 Ta có (x-3)(x-1) = 6 
 (TMĐK (*))
Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là: S ={-3; ; } 
b)
ĐK: x 2 (***)
 (thỏa mãn ĐK(***))
Vậy nghiệm của phương trình là x = 3
Câu 3
a)
Ta có: P(0) = d 5
P(1) = a + b + c + d 5 => a + b + c 5 (1)
P(-1) = -a + b – c + d 5 => -a + b – c 5 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2b 5 => b 5 vì (2,5) = 1, suy ra a + c 5
P(2) = 8a + 4b + 2c + d 5 => 8a + 2c 5 => a 5 => c 5
b)
 Ta có 4x2 – 4xy + 4y2 = 16 
( 2x – y )2 + 3y2 = 16
( 2x – y )2 = 16 – 3y2
Vì ( 2x – y )2 0 nên 16 – 3y2 0 y2 5 y2 { 0; 1; 4 }
Nếu y2 = 0 thì x2 = 4 x =2
Nếu y2 = 1 thì ( 2x – y )2 = 13 không là số chính phương nên loại y2 = 1 
Nếu y2 = 4 y = 2
+ Khi y = 2 thì x = 0 hoặc x = 2
+ Khi y = - 2 thì x = 0 hoặc x = - 2
Vậy phương trình có 6 nghiệm nguyên là (x, y) = ( - 2; 0 ); ( 2; 0 ); ( 0; 2 ); ( 2; 2 ); ( 0; - 2 ); ( - 2; -2 ) 
c)
- Nếu n là số chẵn thì n4 + 4n là số chẵn lớn hơn 2 nên là hợp số
- Nếu n là số lẻ, đặt n = 2k + 1 với k là số tự nhiên lớn hơn 0
n4 + 42k + 1 = (n2)2 + (2.4k )2 
 = (n2)2 + 2.n2.2.4k + (2.4k )2 – 2.n2.2.4k 
 = ( n2 + 2.4k )2–(2n.2k)2 =(n2 + 2.4k – 2n.2k).(n2 + 2.4k + 2n.2k)
Vì n2 + 2.4k + 2n.2k > n2 + 2.4k – 2n.2k = n2 + 4k – 2n.2k + 4k 
 = (n – 2k)2 + 4k > 4
Suy ra n4 + 42k + 1 là hợp số
Vậy n4 + 4n là hợp số với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1
Câu 4
a)
 Giả sử ta có 
 luôn đúng với mọi a, b
Vậy với mọi a, b
b)
Đặt a + b = x; b + c = y; c + a = z với x, y, z là các số thực dương
Ta có 
 (Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho 2 số dương và )
Chứng minh tương tự ta có và 
Suy ra 
. 
Dấu “ = ” xẩy ra khi 
Vậy giá trị lớn nhất của tích ( a + b )( b + c )( c + a) là 
Câu 5
a) 
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tac có: AE.AB = AD2 ;
AF.AC = AD2 
Suy ra: AE.AB = AF.AC
b)
Biểu thị được : tanB = ; tanC =; tanB.tanC = 
Biểu thị được: 
tanB = ; tanC = ; tanB.tanC = 
Suy ra : (tanB.tanC)2 = => tanB.tanC = = 3
c) 
Chứng minh được: AE.AB/AK.AB=AF.AC/AI.AC => EF // IK
Chứng minh được: 
Tương tự chứng minh được và suy ra 4 điểm E, M, N, F thẳng hàng
Tổng
Lưu ý: Học sinh làm cách khác dúng vẫn cho điểm tối đa.