Đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2016 – 2017 môn thi: Toán 9

PHÒNG GD&ĐT 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn thi: Toán 9
Thời gian làm bài 150 phút
Câu 1: 
 a) Tính giá trị của đa thức tại 
 b) So sánh và 
 c) Tính giá trị biểu thức: với 00 < x < 900
 d) Biết là số vô tỉ, hãy tìm các số nguyên a, b thỏa mãn: 
Câu 2: Giải các phương trình sau:
 a) 
 b) 
Câu 3: 
 a) Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 5
 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – xy + y2 – 4 = 0 
 c) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n4 + 4n là hợp số.
Câu 4: 
Chứng minh rằng 
Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện 
Tìm giá trị lớn nhất của tích (a + b)(b + c)(c + a).
Câu 5: Cho nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H. Gọi chân các đường vuông góc hạ từ D xuống AB, AC lần lượt là E và F
Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC
Giả sử HD = AD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3
 c) Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến BI và CK. Chứng minh rằng: 4 điểm E, M, N, F thẳng hàng.
------------------HẾT-----------------
ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I
Bài 1 (2,0 điểm):
Cho . 
Hãy rút gọn: (Với 0£ x £1).
Cho . Thực hiện tính .
Bài 2 (2,0 điểm): 
Giải các phương trình sau:
a) + = 7
b) 
Bài 3 (2 điểm):
	Cho hình thang cân ABCD (AB//CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Trên tia NC lấy điểm G. Đường thẳng GM cắt DB tại H và cắt DA tại K. KN cắt AB tại E; NH cắt AB tại F.
Chứng minh NM là phân giác của góc ENF.
Khi G là trung điểm của NC. Chứng minh GA, DB, KN đồng quy.
Bài 4 (2,0 điểm):
	Cho tam giác nhọn ABC và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh:
	a) 
	b) 9 
Bài 5 (1,0 điểm):
	Tìm các số nguyên x, y để: 
Bài 6 (1,0 điểm): 
	Cho x là số nguyên. Chứng minh rằng:
a) A(x) = x5 – x chia hết cho 5.
b) M = luôn nhận giá trị nguyên.
Câu
Ý
Đáp án
Câu 1
a)
=
b)
Ta có 
Vậy > 
c)
d)
ĐK: (*)
 (*)
Ta thấy (*) có dạng trong đó A, B , nếu vô lí vậy B = 0 => A= 0.
Do đó (*)
 (không t/m ĐK (*)). Vậy a = 9; b = 4 
Câu 2
a)
ĐK (**)
 (2)
+ Trường hợp : x + 3 = 0 (TMĐK (**)
+ Trường hợp : x + 3 0 
 Ta có (x-3)(x-1) = 6 
 (TMĐK (*))
Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là: S ={-3; ; } 
b)
ĐK: x 2 (***)
 (thỏa mãn ĐK(***))
Vậy nghiệm của phương trình là x = 3
Câu 3
a)
Ta có: P(0) = d 5
P(1) = a + b + c + d 5 => a + b + c 5 (1)
P(-1) = -a + b – c + d 5 => -a + b – c 5 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2b 5 => b 5 vì (2,5) = 1, suy ra a + c 5
P(2) = 8a + 4b + 2c + d 5 => 8a + 2c 5 => a 5 => c 5
b)
 Ta có 4x2 – 4xy + 4y2 = 16 
( 2x – y )2 + 3y2 = 16
( 2x – y )2 = 16 – 3y2
Vì ( 2x – y )2 0 nên 16 – 3y2 0 y2 5 y2 { 0; 1; 4 }
Nếu y2 = 0 thì x2 = 4 x =2
Nếu y2 = 1 thì ( 2x – y )2 = 13 không là số chính phương nên loại y2 = 1 
Nếu y2 = 4 y = 2
+ Khi y = 2 thì x = 0 hoặc x = 2
+ Khi y = - 2 thì x = 0 hoặc x = - 2
Vậy phương trình có 6 nghiệm nguyên là (x, y) = ( - 2; 0 ); ( 2; 0 ); ( 0; 2 ); ( 2; 2 ); ( 0; - 2 ); ( - 2; -2 ) 
c)
- Nếu n là số chẵn thì n4 + 4n là số chẵn lớn hơn 2 nên là hợp số
- Nếu n là số lẻ, đặt n = 2k + 1 với k là số tự nhiên lớn hơn 0
n4 + 42k + 1 = (n2)2 + (2.4k )2 
 = (n2)2 + 2.n2.2.4k + (2.4k )2 – 2.n2.2.4k 
 = ( n2 + 2.4k )2–(2n.2k)2 =(n2 + 2.4k – 2n.2k).(n2 + 2.4k + 2n.2k)
Vì n2 + 2.4k + 2n.2k > n2 + 2.4k – 2n.2k = n2 + 4k – 2n.2k + 4k 
 = (n – 2k)2 + 4k > 4
Suy ra n4 + 42k + 1 là hợp số
Vậy n4 + 4n là hợp số với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1
Câu 4
a)
 Giả sử ta có 
 luôn đúng với mọi a, b
Vậy với mọi a, b
b)
Đặt a + b = x; b + c = y; c + a = z với x, y, z là các số thực dương
Ta có 
 (Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho 2 số dương và )
Chứng minh tương tự ta có và 
Suy ra 
 . 
Dấu “ = ” xẩy ra khi 
Vậy giá trị lớn nhất của tích ( a + b )( b + c )( c + a) là 
Câu 5
a) 
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tac có: AE.AB = AD2 ;
AF.AC = AD2 
Suy ra: AE.AB = AF.AC
b)
Biểu thị được : tanB = ; tanC =; tanB.tanC = 
Biểu thị được: 
tanB = ; tanC = ; tanB.tanC = 
Suy ra : (tanB.tanC)2 = => tanB.tanC = = 3
c) 
Chứng minh được: AE.AB/AK.AB=AF.AC/AI.AC => EF // IK
Chứng minh được: 
Tương tự chứng minh được và suy ra 4 điểm E, M, N, F thẳng hàng
Tổng
HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I
Bài 1 (2,0 điểm):
0,25
0,25
0,25
0,25
.
0,50
Từ x3 = 4 + 3x được: x3 – 3x = 4 Û (x3 – 3x)3 = 43 Û x3(x2 – 3)3 = 43 =64.
0,25
Thay được =4
0,25
Bài 2(2,0 điểm): Giải các phương trình sau:
Nhân hai vế với được: +
0,25
+
0,25
 Û
0,25
 x = 15. Đặt điều kiện rồi đối chiếu hoặc thử lại để kết luận nghiệm.
0,25
Cộng hai vế với được: 
0,25
Û
0,25
Û. PT vô nghiệm do VT³0; VP <0.
0,25
.
Giải phương trình được nghiệm: 
0,25
Bài 3 (2,5 điểm):
Nối NA, NB. Chứng minh được DAND =DBNC Þ NA = NB Þ DNAB cân Þ MN ^ AB
Có: ME/GN = KM/KG (EM//GN)
 KM/KG = AM/DG
Þ ME/GN = AM/DG
MF/NG = HM/HG
HM/HG = MB/DG
Þ MF/NG = MB/DG
Mà MA = MB nên ME/GN = MF/GNÞ ME=MF
Tam giác ENF có NM vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên NM là phân giác của ENF.
0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
Từ DN = 2NG chứng minh được AE = 2EM.
Gọi I là giao điểm của EN và DB. Có IE/IN = EB/DN = 4EM/DN.
Gọi J là giao điểm của AG và EN, Có JE/JN=AE/NG = 2EM/NG = 4EM/DN
 Þ IE/IN =JE/JN Þ I º J hay GA, DB, KN đồng quy.
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 4 (2,0 điểm):
Lần lượt hạ AH, OK vuông góc với BC. Có:.
0,25
Lại có nên .
0,50
Tương tự: ; 
0,25
Cộng được: 
0,25
Với ba số dương a, b, c có:
Û
0,25
Có: =. 1
=(). () ³ 9
0,50
Bài 5 (1,0 điểm):
Đưa về phương trình tích
0,50
Lập và giải các hệ phương trình:
Giải được nghiệm: (3; -1); (-3; 1)
0,50
Bài 5(2,0 điểm): 
n5 – n = n(n2 -1)(n2 + 1).
0,25
Xét số dư khi chi n cho 5:
n = 5k: n chia hết cho 5 nên n5 – n.
n = 5k±1: n2 -1 = 25k2 ±10k + 1-1 = 5(5k2 ±2k) chia hết cho 5.
n = 5k±2: n2 +1 = 25k2 ±20k + 4+1 = 5(5k2 ±4k+1) chia hết cho 5.
Vậy với mọi n Z thì n5 – n chia hết cho 5.
0,50
M = . 
M Z Û M(x) =chia hết cho 30.
0,25
M(x) = chia hết cho 5. (1)
0,25
M(x) =
Tích ba số nguyên liên tiếp x(x-1)(x+1) chia hết cho 2; 3 và ƯCLN(2,3)=1 nên x(x-1)(x+1) chia hết cho 6 Þ M(x) chia hết cho 6. (2)
0,50
Kết hợp (1), (2) và ƯCLN(5,6) = 1Þ M(x) chia hết cho 30 hay M nhận giá trị nguyên với mọi x Z.
0,25