Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán học năm học: 2008 - 2009

phòng giáo dục-đào tạo đức thọ
đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn toán
Năm học: 2008-2009
Thời gian: 150 phút
Bài 1: Chứng minh khi m thay đổi, các đường thẳng có phương trình:
(2m - 1) x + my + 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định
Bài 2: 	1/ Cho 
So sánh S với 
2/ Cho a; b; c là các số thực thoả mãn điều kiện: abc = 2008. Chứng minh rằng:
Bài 3: Cho x = . Tính giá trị của P = x2009 – 3x2008 + 9x2007 – 9x2006 + 2009
Bài 4: Giải phương trình: = 2009
Bài 5: Cho 00 < a < 900. Chứng minh rằng: 
Bài 6: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
 ≥ 
Bài 7: Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn: P(x + 1) = P(x) + 2x + 1 với "x ẻ R
Bài 8: Cho DABC có ba cạnh là a, b, c, có chu vi là 2p và diện tích S; r là bán kính đường tròn nội tiếp; ra là bán kinh đường tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác. Chứng minh: p(p – a) = S
Bài 9: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. M chuyển động trên nửa đường tròn. Xác định vị trí điểm M để MA + MB đạt giá trị lớn nhất
Bài 10: Cho dãy số được xác định theo công thức:
. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì dãy các tổng tương ứng a1 + a2 + ... ap – 1 đều chia hết cho p
----------------- Hết -------------
Hướng dẫn chấm
Bài 1: (2 đ) Từ (2m - 1) x + my + 3 = 0 ị m(2x + y) + 3 – x = 0 	1đ
Với mọi m thì 	1đ
Bài 2: (3 đ) 1/ Ta chứng minh: 	0,5đ
áp dụng BĐT trên được: 	1đ
	2/ Từ abc = 2008 suy ra a; b; c khác 0. Thay abc = 2008 ta có:	0,5đ	
	1đ
Bài 3: (2 đ) Từ x = ị ị 3 – x = x 
	ị x3 – 3x2 + 9x – 9 = 0 	1đ
	P = x2009 – 3x2008 + 9x2007 – 9x2006 + 2009 = x2006 (x3 – 3x2 + 9x – 9) + 2009 = 2009	1đ
Bài 4: (2 đ) ĐK: x ≥ 0	0,5đ
Ta có 	 (1)	0,5đ
(2)	0,5đ
Cộng (1) và (2) suy ra: x = hay x = 0 và x = 1	0,5đ
Bài 5: (2 đ). Ta dễ chứng minh được sina; cosa < 1 với a < 900	1đ
	Nên sin2008a < sin2a và cos2009a < cos2a nên 	1đ
Bài 6: (2 đ) ≥ (Cauchy)	1đ
	Tương tự ; 	0,5đ
	Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c	0,5đ
Bài 7: (2 đ). Ta có P(x + 1) + x2 = p(x) + x2 + 2x + 1 ị P(x + 1) – (x + 1)2 = P(x) – x2	0,5đ
Đặt Q(x) = P(x) – x2, khi đó Q(x) = Q(x + 1) 	0,5đ
Cho x = 0; 1; 2; ... nhận được Q(0) = Q(1) = Q(2) = ... = Q(n) = ...	0,5đ
Suy ra phương trình Q(x) – Q(0) = 0 có vô số nghiệm. Do đó Q(x) – Q(0) º 0 ị P(x) – x2 = Q(0) = P(0). Vậy P(x) = x2 + a với a là hằng số tuỳ ý. Thử lại ta thấy thoả mãn bài toán	0,5đ
Bài 8: (2 đ). Chứng minh được S = (p – a)ra và ra = p 	1,5 đ
ị S = p(p – a)	0,5đ
Bài 9: (2 đ). Chứng minh được = 900. Theo Pitago: MA2 + MB2 = AB2 = R2	0,5đ
áp dụng BĐT: ta có MA + MB ≤ 4R	1đ
Dấu “=” xảy ra khi MA = MB hay M ở vị trí sao cho = 600	0,5đ
Bài 10: (1 đ). Theo giả thiết ... 
= = 3n. Vậy nên an = 3n – n3 với mọi n ẻ N*. 	0,5đ
Với p = 2 thì a1 = 2 2
Với p > 2 thì a1 + a2 + ... ap – 1 = 
Do và nên a1 + a2 + ... ap – 1 p	0,5đ