Đè thi học sinh giỏi huyện môn: Toán 8 - Đề 3

Đề KS 3
ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN 
Môn: Toán 8
Bài 1: a)Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: (1)
b) Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị thì ta vần được một số chính phương.
Bài 2: Chứng minh rằng:Nếu và a + b + c = abc thì ta có 
Bài 3: a) Giải phương trình: (x2 – 4x)2 + 2(x – 2)2 = 43
b)Cho phương trình: Tìm giá trị m để phương trình vô nghiệm.
Câu 4:Cho tam giác ABC nhọn. Dựng ra phía ngoài hai tam giác đều ABE; ACF, lại dựng hình hành AEPF. Chứng minh rằng PBC là tam giác đều.
Câu 5: Cho tam giác ABC có BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm.
Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC.
Gọi CD là đường phân giác của tam giác ACH. Chứng minh BCD cân.
Chứng minh: BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2
Bài 6a)Cho a, b là các số dương t/m a3 + b3 = a5 + b5Chứng minh rằng: a2 + b2 1 + ab
b)Cho S = + + +  + . Chứng minh rằng S >
----------------------------------------------------------------------------
Đề KS 3
ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN 
Môn: Toán 8
Bài 1: a)Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: (1)
b) Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị thì ta vần được một số chính phương.
Bài 2: Chứng minh rằng:Nếu và a + b + c = abc thì ta có 
Bài 3: a) Giải phương trình: (x2 – 4x)2 + 2(x – 2)2 = 43
b)Cho phương trình: Tìm giá trị m để phương trình vô nghiệm.
Câu 4:Cho tam giác ABC nhọn. Dựng ra phía ngoài hai tam giác đều ABE; ACF, lại dựng hình hành AEPF. Chứng minh rằng PBC là tam giác đều.
Câu 5: Cho tam giác ABC có BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm.
Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC.
Gọi CD là đường phân giác của tam giác ACH. Chứng minh BCD cân.
Chứng minh: BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2
Bài 6a)Cho a, b là các số dương t/m a3 + b3 = a5 + b5Chứng minh rằng: a2 + b2 1 + ab
b)Cho S = + + +  + . Chứng minh rằng S >
Câu
Nội dung bài giải
Câu 1
a)Thêm xy vào hai vế:
 (2)
 Ta thấy xy và xy + 1 là hai số nguyên liên tiếp, có tích là một số chính phương nên tồn tại một số bằng 0.
Xét xy = 0. Từ (1) có nên x = y = 0
Xét xy + 1 = 0. Ta có xy = -1 nên (x , y) = (1 ; -1) hoặc (-1 ; 1)
Thửa lại, ba cặp số (0 ; 0), (1 ; -1), (-1 ; 1) đều là nghiệm của phương trình đã cho
 b) Gọi là số phải tìm a, b, c, d N, 
 với k, mN, 
 Ta có: 
 Do đó: m2 – k2 = 1353 
 (m + k)(m – k) = 123.11= 41. 33 ( k + m < 200 ) 
 hoặc 
 (thỏa mãn) hoặc (loại) 
Vậy số cần tìm là: = 3136 
Câu 2
Theo gt: nên a , b0, c0
Ta có: 
Vì a + b + c = abc (gt) nên 
 ( đpcm)
Bài 3: 
a/ 
Đặt x2-4x = t. Đk: t -4 
Khi đó ta có được phương trình: t2 + 2t - 35=0 
 (t + 7)(t – 5) = 0
 t = -7 ( loại) hoặc t = 5
Với t = 5. Khi đó: x2 - 4x - 5=0 (x +1)(x – 5) = 0 x=5 hoặc x=-1
 Vậy S = { 5; -1}
b/ ĐK của PT (*) 
 x – m 0 
 x – 1 0 
Từ (*) => (x + 2)(x – 1) = (x + 1)(x – m)
 => mx = 2 – m (**)
- Với m = 0 thì PT (**) có dạng : 0x = 2. Trường hợp này PT (**) vô nghiệm (1)
- Với m 0 thì PT (*) có nghiệm: x = 
Nghiệm x = là nghiệm của PT (*) khi nó phải thỏa mãn điều kiện: xm và x 1
Tức là : 
Như vậy PT (*) vô nghiệm với các giá trị của m {-2 ; 0 ; 1}
Bài 4:
 Gọi là số phải tìm a, b, c, d N, 
 với k, mN, 
 Ta có: 
 Do đó: m2 – k2 = 1353 
 (m + k)(m – k) = 123.11= 41. 33 ( k + m < 200 ) 
 hoặc 
 (thỏa mãn) hoặc (loại) 
Vậy số cần tìm là: = 3136 
Bài 4:
(6 đ)
Câu 1:
Ta có: AEPF là hình bình hành nên 
Xét EPB và FPC, ta có: 
EB = FP ( = AE) ; EP = FC (= AF) và =( vì 600 - =600 - )
EPB = FPC ( c.g. c )
 Suy ra: PB = PC (1)
Ta có: 
 mà Ê1 + Ê2 = 600
 Do đó Â3 = Ê2 
Xét EPB và ABC, ta có: 
EB = AB; EP = AC ( = AF) và Â3 = Ê2 
EPB = ABC ( cgc )
Suy ra: PB = BC (2)
Từ (1) và (2) PB = PC = BC
Vậy PBC đều
Câu 2:
a. Dùng định lí Py-ta-go đảo chứng minh được: ABC vuông tại C
Ta có: SABC =AC.BC = AB.CH = 12 cm
b. Dể dàng tính được;
 HA = 16 cm ; BH = 9 cm 
CD là tia phân giác của ACH nên suy ra 
 AD = 10 cm ; HD = 6 cm.
Do đó BC = BD ( = 15 cm ) 
Vậy BDC cân tại B.
c. Xét các vuông : CBH, CAH 
Ta có: BC2 = BH2 + CH2 ( đl Py-ta-go)
 CD2 = DH2 + CH2 ( đl Py-ta-go)
 BD2 = BC2 = BH2 + CH2 ( đl Py-ta-go)
Từ đó suy ra BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2
Bài 5 : 
a)Với 2 số a, b dương:
 Xét: a2 + b2 – ab 1
(a + b)(a2 + b2 – ab) (a + b) ( vì a + b > 0)
a3 + b3 a + b
(a3 + b3)(a3 + b3) (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 )
 a6 + 2a3b3 + b6 a6 + ab5 + a5b + b6
2a3b3 ab5 + a5b
ab(a4 – 2a2b2 + b4) 0
 đúng a, b > 0 .
Vậy: với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5
b)Ta có: 
Thay mỗi phân số trong từng nhóm bằng phân số nhỏ nhất trong nhóm ấy ta được: