Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2016-2017 môn: Toán lớp 11

SỞ GD&ĐT BẮC NINH 
TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 1 
————————— 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
Năm học : 2016-2017 
Môn: Toán lớp 11 
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. 
———————————— 
Câu 1 (2,0 điểm) 
Giải phương trình: 2 2 34sin 3cos2 1 2cos ( ).
2 4
x x x     
Câu 2(3,0 điểm) 
 1.Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu 
nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số 
đó chia hết cho 3. 
2.Một người có số tiền 100 triệu đồng quyết định gửi ngân hàng với lãi suất 6% 
một năm. Hỏi sau 30 năm thì sô tiền người đó thu được là bao nhiêu, biết rằng hằng năm 
người đó không rút tiền lãi và số tiền lãi lại được cồng vào vốn của năm sau. 
Câu 3 (1,5 điểm) 
Cho đường tròn ( C) có bán kính R. 
1. Tính theo R diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn ( C) 
2. Kí hiệu Sn là diện tích của n giác đều nội tiếp trong ( C), ( n 3 ). Tính Sn theo R,n 
và tìm limSn biết 
0
sin 1
x
xlim
x
 
Câu 4 (2,5 điểm) 
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a . 
 1. Chứng minh rằng 'AC vuông góc với mặt phẳng  'A BD và đường thẳng 'AC đi 
qua trọng tâm của tam giác 'A BD . 
 2. Hãy xác định các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh A’D, CD’ sao cho MN 
vuông góc với mặt phẳng (CB’D’). Tính độ dài đoạn MN theo a . 
Câu 5 ( 1,0 điểm) 
Cho hàm số 
   2017 20002 2000 2 3 2017
2
1 1
, 0( )
, 0
x x x ax x x x
xf x x
b khi x
          
   
 
 
Tìm a và b để hàm số liên tục trên R. 
-------------------Hết------------------- 
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh: SBD:  
 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 
Đáp án gồm 3 trang 
Câu Nội dung Điểm 
I 
2 điểm Phương trình đã cho tương đương với 
32(1 cos ) 3 cos 2 1 1 (2 )
2
x x c x      os 
2cos 3cos2 sin 2x x x     
0,5 
1 3sin 2 cos2 cos
2 2
x x x   
0.5 
sin(2 ) cos
3
x x   
0,5 
sin(2 ) sin( )
3 2
x x     
0,25 
5 22 2
3 2 18 3 ( ).
52 2 2
3 2 6
x x k x k
k
x x k x k
   

  
 
       
   
      
  
 
0,25 
II 
3,0điểm 
1.(1,5 điểm) 
 +) Trước hết ta tính n(A). Với số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau thì 
chữ số đầu tiên có 9 cách chọn và có 89A cho 8 vị trí còn lại. Vậy   899n A A 
+) Giả sử  0;1;2;...;9B  ta thấy tổng các phần tử của B bằng 45 3 nên số có chín 
chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 3 sẽ được tạo thành từ 9 chữ số của các 
tập        \ 0 ; \ 3 ; \ 6 ; \ 9B B B B nên số các số loại này là 
9 8
9 83.8.A A . Vậy xác suất cần tìm là 
9 8
9 8
8
9
3.8. 11
279.
A A
A

 
0,5 
1,0 
2.(1,5 điểm) 
Kí hiệu An là số tiền thu về sau n năm. Bằng chứng minh quy nạp 
An = 100(1+0,06)n ( triệu đồng) 
A30 = 574347117 ( đồng) 
1,0 
0,5 
III 
(2,5 điểm) 1.(0,5 điểm) 
Giả sử tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn ( C) tâm I. Khi đó SABC = 3SAIB 
Mà SAIB = IAIBsin1200 = R2
3
2
 nên SABC = 
23 3
2
R
0,5 
2.(1,0 điểm) 
Giả sử đa giác đều A1A2An nội tiếp đường tròn ( C) tâm I khi đó 
SA1A2..An = nSA1IA2 mà góc A1IA2 = 1 2 1 2
2 2
...
2 1 2 2sin sin
2 2nA IA A A A
nS R S R
n n n
  
    
Bằng cách đặt x= 
2
n

 khi đó 0n x  và sử dung kết quả 
0
sin 1
x
xlim
x
 ta có: 
1 2
2 2
... 0
s inxlim lim
nA A An x
S R R
x
 
 
  
0,5 
0,5 
IV 
(3 điểm) 
Ta có BD AC và 'BD AA nên  ' ' 'BD ACC A AC BD   . 
Tương tự ta chứng minh được ' 'AC A D . Từ đó ta suy ra  ' 'AC A BD . 
0,25 
Gọi I là giao điểm của AC và BD . Khi đó ' 'G AC A I  chính là giao điểm của 
'AC và mặt phẳng  'A BD . Do // ' ' 2
' ' '
GI AIAC A C
GA A C
   suy ra G là trọng tâm 
của tam giác 'A BD . 
0,5 
2. (1,5 điểm) Đặt ' , ' ' , ' ' ; . . . 0A A m A D n A B p m n p a m n n p p m         
              
và ' . ' ; ' . 'A M x A D D N y D C 
   
Ta có ' . . ; ' . . ' ' ' 'A M x m x n D N y m y p MN MA A D D N       
         
   1y x m x n y p    
  
Do đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng (CB’D’) nên ta có 
     
     
2
1 0. ' 0 1 2 0 3
2 0 1. ' 0 1 0
3
xy x m x n y p m nMN B C y x
y xMN D C y x m x n y p m p y
              
     
           
     
       
Vậy M, N là các điểm sao cho 2 1' ' ; ' '
3 3
A M A D D N D C 
   
Do đó ta có 
2
21 1 1 3
3 3 3 3 3
a aMN m n p MN MN       
   
0,25 
GI
C'
B'A'
C
A
D
B
D'
M
N
0,5 
V Nhận thấy hàm số liên tục tại mọi điểm x khác 0. Vậy hàm số liên tục trên R khi 
và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 0 
0,5 
Ta có : 
  20172 2000 2 40171 2 40171 1x x x a x a x a x          
 20002 2017 2 40171 2 40171 1ax x x b x b x b x          
Nếu a1 – b1  0 thì không tồn tại giới hạn của f(x) khi x tiến tới 0 
Vậy a1 = b1. 
Ta lại có:     2017 20172000 2 11 20171 1 ( )x x x x h x a C        
     2000 20002 3 2017 2 11 20001 1 ( )ax x x x ax x h x b aC         
Do a1=b1 nên ta có a = 
1
2017
1
2000
2017
2000
C
C
 
Xét 
   
   
       
2017 20002 2000 2 2017
20
2017 20002 3 2 3
20
2017 20002 2
2 1 2 2 1
2 2 2017 2017 2000 200020
1 1 ax+x
lim
(1 ) . ( ) (1 ax+x ) q( )
lim
1 1 ax+x
lim 2557225
x
x
x
x x x x
x
x x x p x x x
x
x x
a b C C a C C b
x



       
     

   
        
 