Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 7 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD & ĐT Yên Định (Có đáp án)

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 HUYỆN YÊN ĐỊNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN: TOÁN - LỚP 7
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (4 điểm)
a/ Tính giá trị biểu thức : 
b/ So sánh và 
Bài 2 (4 điểm): 
a/ Tìm x biết 
b/ Tìm x, y, z biết và 3x-7y+5z=30
Bài 3 (4 điểm)
a/ Tìm đa thức bậc hai f(x) biết rằng : f(0)=10; f(1)=20 và f(3)=58
b/ Chứng minh rằng nếu với m,n là các số tự nhiên thì m, n chia hết cho 3.
Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh BC, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=BD. Các đường thẳng vuông góc với BC tại D và E lần lượt cắt các đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại M, N. Gọi I là giao điểm của MN với BC.
a/ chứng minh rằng I là trung điểm của MN.
b/ Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định
Bài 5 (2 điểm): Tìm các số tự nhiên x, y, z thoả mãn điều kiện: x+y+z=xyz
 Hết
HỌ VÀ TÊN THÍ SINH............................................. SỐ BÁO DANH:................
Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm
ĐÁP ÁN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN : TOÁN 7
Bài
ý
Nội dung
Điểm
Bài 1
4,0 đ
a
2,0đ
Ta có : với 
Cho k chạy từ 2 đến 2012 và k là số chẵn ta được
Vậy 
0,5
0,75
0,5
0,25
b
2,0đ
Ta có: 
Vậy S < P 
0,25
0,75
0,25
0,5
0,25
Bài 2
a
2,0đ
+ Với 
Ta có 
 (thoả mãn đk)
+ Với 
Ta có 
 (không thoả mãn ĐK)
Vậy x=3
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
025
0,25
b
2,0đ
Ta có (1)
 (2)
Từ (1) và (2) 
 ; 
Vậy .
0,25
0,25
0,25
0,5
0,75
Bài 3
a
2,0đ
Gọi đa thức bậc hai là với 
Ta có : 
 (1)
Từ (1) và (2) 
Vậy đa thức cần tìm là 
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
b
2,0đ
Ta có : (1)
Vì 
Kết hợp với (1) 
 Vì 3 là số nguyên tố nên từ (2) và (3) suy ra m và n đều chia hết cho 3. 
Suy ra đpcm
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 4
6,0 điểm
a
3,0
Chứng minh 
 DM = EN
 Chứng minh 
 IM = IN
Hay I là trung điểm của MN
1,0
0,25
1,25
0,5
b
3,0
Gọi O là giao điểm của đường trung trực của BC với đường thẳng vuông góc với MN tại I.
Vì AB = AC AO là đường trung trực của BC OB=OC
Vì I là trung điểm của MN OI là đường trung trực của MN
 OM = ON
Vì BM = CN
Xét và có
OB = OC, OM = ON, BM = CN
= (C.C.C)
 (1)
Vì AO là đường trung trực của BC (2)
Từ (1) và (2) 
Vì vậy O là giao điểm của đường trung trực của cạnh BC với đường thẳng vuông góc với AC tại C nên điểm O cố định
Suy ra điều phải chứng minh
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
Bài 5
2,0đ
Không mất tính tổng quát của bài toán giả sử 
Vì x, y, z là các số tự nhiên khác 0 
Ta có 
Thay vào (*) ta được 
 1+y+z = yz
Vì vai trò của x, y, z như nhau nên các bộ số (x,y,z) thoả mãn bài toán là : 
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
Chú ý: Học sinh làm cách khác vẫn cho điểm tối đa.