Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn thi: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
	 ĐỀ CHÍNH THỨC
 Số báo danh
.............................
KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
Năm học : 2015 – 2016
Môn thi : TOÁN
Lớp 12 THPT
Ngày thi 10/3/2016
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang, gồm 05 câu.
Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
Chứng minh rằng đường thẳng d có phương trình cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi số thực m. Gọi lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A và B. Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu II (4,0 điểm)
Giải phương trình .
Giải hệ phương trình x,y∈R.
Câu III(4,0 điểm)
Cho ba số thực dương x , y, z thỏa mãn x+y+1=z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=x3x+yz+y3y+zx+z3z+xy+14z+11+x+y+xy.
Tìm m để hệ bất phương trình x-6≥x2-5x+9x2-x+4x4+16≤mx3 có nghiệm .
Câu IV(4,0 điểm)
Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp trường , một trường THPT đã dùng 7 cuốn sách tham khảo
 môn Toán, 6 cuốn sách tham khảo môn Vật lí, 5 cuốn sách tham khảo môn Hóa học để làm 
 phần thưởng cho 9 học sinh có kết quả cao nhất. Các cuốn sách cùng thể loại: Toán, Vật lí, 
 Hóa học đều giống nhau. Mỗi học sinh nhận thưởng sẽ được 2 cuốn sách khác thể loại. 
 Trong số 9 học sinh trên có hai học sinh tên là An và Bình. Tìm xác suất để hai học sinh An 
 và Bình có phần thưởng giống nhau.
 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hình thang ABCD có 
 và A, C thuộc trục hoành. Gọi E là trung điểm của đoạn AD, đường thẳng EC đi qua điểm 
 Tìm toạ độ các đỉnh A, C, D biết EC vuông góc với BD và điểm E có tọa độ nguyên.
Câu V (4,0 điểm) 
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, biết AB = BC = , khoảng 
 cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng và . Tính theo thể tích khối 
 chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm và mặt phẳng (P) có phương trình .
Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: 
 S = .
 .................Hết.................
Thí sinh không được sử dụng tài liệu . Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
 Họ và tên thí sinh............................................................................................................................
 Chữ kí của giám thị số 1:..........................................Chữ kí của giám thị số 2:...........................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2015– 2016
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN THI: TOÁN-LỚP 12 THPT
 (Hướng dẫn chấm gồm 08 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
Câu I
4,0điểm
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
2.0
Tập xác định: 
Sự biến thiên: 
+) Giới hạn và tiệm cận: 
	, tiệm cận ngang: y = 2,
 	; tiệm cận đứng: .
0,5
+) Chiều biến thiên: 
Hàm số đồng biến trên các khoảng và 
0,5
Bảng biến thiên:
x
y’
y
0,5
Đồ thị :
Đồ thị (C) nhận giao điểm hai tiệm cận I(-2; 2) làm tâm đối xứng.
0,5
2. Chứng minh rằng d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi số thực m. Gọi lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A và B. 
Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất.
2.0
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d:
0,5
Xét phương trình (*), ta có: và không là nghiệm của (*) nên luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt với mọi .
0,5
Hệ số góc của tiếp tuyến tại , tại lần lượt là ,
 trong đó là 2 nghiệm của phương trình (*) nên 
 ta thấy ().
0,5
Ta có: , do dó: Min P = 22017 
đạt được khi 
 do , phân biệt nên ta có: 
Vậy là giá trị cần tìm. 
0,5
Câu II
4,0điểm
1. Giải phương trình . (1)
2.0
 (1) 
0,5
0,5
0,5
Giải ra ta được nghiệm của phương trình là 
 0,5
2. Giải hệ phương trình 
2.0
ĐK : 
Ta có 
0,5
Với thay vào (2) ta được: 
 .
(với ).
0,5
 0,5
 Xét (3) : Từ (3) và điều kiện suy ra .
Ta có VP(3) (theo BĐT Bunhiacopxki).
Dấu bằng có khi .Vậy từ phương trình (3) suy ra .Thế vào (1) ta cũng được (tmđk).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 
0,5
Câu III
4,0điểm
Cho ba số thực dương x , y, z thỏa mãn x+y+1=z. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
P=x3x+yz+y3y+zx+z3z+xy+14z+11+x+y+xy.
2.0
Ta có: x,y,z>0 nên (1+x)(1+y)≤x+y+224=z+124 , dấu bằng xảy ra khi x=y.
Lại có 1+x+y+xy=1+x1+y và 2xy≤x2+y2 dấu bằng xảy ra khi x=y
0,5
Nên ta được 
 P=x4x2+xyz+y4y2+xyz+z3z+xy+141+z1+x+y+xy
 ≥x2+y22x2+y2+2xyz+z31+x1+y+141+z1+x+y+xy
 ≥x2+y21+z+z31+x1+y+141+z1+x+y+xy
0,5
 ≥x+y221+z+z31+x1+y+141+z1+x+y+xy
 ≥x+y221+z+4z31+z2+281+z2=9z3-z2-z+572z+12.
0,5
Xét hàm số 
Ta có , suy ra GTNN của P là 538 khi x=y=13 , z=53
0,5
2.Tìm m để hệ bất phương trình x-6≥x2-5x+9x2-x+4x4+16≤mx3 có nghiệm.
 2.0
Bất phương trình thứ nhất trong hệ có tập nghiệm là 1;3
 0,5
Với , bất phương trình thứ hai tương đương với :
 .
0,5
Xét hàm số , đặt do x∈1;3 suy ta t∈4;5
Hàm số trở thành hàm gt=t3-t2-8t+8 
0,5
Dễ tìm được GTNN của hàm gt=t3-t2-8t+8 trên 4;5 là 24 .
Do đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi m≥24.
 0,5
Câu IV
4.0điểm
1. Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp trường , một trường THPT đã dùng 7 cuốn sách tham khảo môn Toán, 6 cuốn sách tham khảo môn Vật lí, 5 cuốn sách tham khảo môn Hóa học để làm phần thưởng cho 9 học sinh có kết quả cao nhất. Các cuốn sách cùng thể loại: Toán, Vật lí, Hóa học đều giống nhau. Mỗi học sinh nhận thưởng sẽ được 2 cuốn sách khác thể loại. Trong số 9 học sinh trên có hai học sinh tên An và Bình. Tìm xác suất để hai học sinh An và Bình có phần thưởng giống nhau.
2.0
Gọi lần lượt là số học sinh nhận phần thưởng là sách (Toán,Lý);(Toán , Hóa);(Lý,Hóa) ta có :
.
Xét phép thử: “Trao phần thưởng cho 9 học sinh”, suy ra 
 0,5
Xét biến cố A: “An và Bình có phần thưởng giống nhau”.
TH1: An và Bình cùng nhận sách Toán, Lý có 
TH2: An và Bình cùng nhận sách Toán, Hóa có 
TH3: An và Bình cùng nhận sách Hóa , Lý có 
0,75
Suy ra .
0,25
Vậy xác suất cần tìm 
0,5
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình thang ABCD có và A, C thuộc trục hoành. Gọi E là trung điểm của đoạn AD, đường thẳng EC đi qua điểm Tìm toạ độ các đỉnh A, C, D biết EC vuông góc với BD và điểm E có tọa độ nguyên
2.0
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BE, cắt BE và BD lần lượt tại I và H; gọi J là giao điểm của BD với CE. Khi đó ta có: 
và suy ra H là trực tâm của suy ra thẳng hàng. Do đó 
0,5
 Đường thẳng BE qua B(2;4) vuông góc với Ox nên có phương trình x =2.
Gọi 
0,5
Thay (2) vào (1) ta được .
0,5
 (do b nguyên)(Ta chứng minh được phương trình có nghiệm duy nhất trên khoảng nên không có nghiệm nguyên ). Khi đó , đường thẳng CD có phương trình cắt Ox tại C(-1;0). Vậy là các điểm cần tìm.
0,5
Câu V
4,0điểm
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = , khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng và . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB , AC .
2.0
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABC). 
Ta có:
 . 
Tương tự 
Suy ra tứ giác HABC là một hình vuông
+Ta có: 
0,5
Dựng tại K (1). 
Do 
Từ (1) và (2) suy ra , nên 
 Ta có: 
0,5
Thể tích Khối chóp S.ABC được tính bởi: 
0,5
Gọi I là hình chiếu của O lên SB khi đó 
Trong tam giác vuông OIB ta có: 
Vậy khoảng cách giữa AC và SB là 
0,5
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm và mặt phẳng (P) có phương trình:.
Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: 
 S = .
2.0
 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC suy ra 
0,5
 Ta có: 
0.5
 Do không đổi nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi MG đạt giá trị nhỏ nhất , khi đó M là hình chiếu của G lên (P). 
0,5
 Từ M thuộc mặt phẳng (P) và véc tơ cùng phương với véc tơ 
 Ta tìm được
0.5
· Chú ý: Học sinh có thể giải theo cách khác:
Giả sử Þ (1)
	Khi đó . 
	Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho (1) ta được:
	Þ . 
	Dấu "=" xảy ra Û suy ra . 
 Vậy khi .
---------------Hết-------------
Chú ý:
Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng đúng thì vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn chấm quy định.
Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm.
Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn.