Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố Thanh Hóa năm học 2016 - 2017 môn Toán lớp 9

PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA
 ĐỀ CHÍNH THỨC
-------------------------
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn Toán : Lớp 9
(Thời gian làm bài: 150 phút)
---------------------------
Bài 1: (5,0 điểm) 
Cho biểu thức: . Với x 0, x 1.
Rút gọn biểu thức P.
Tìm x để .
So sánh: P2 và 2P.
Bài 2: (4,0 điểm) 
Tìm thỏa mãn: 
Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều kiện: 
Chứng minh rằng: chia hết cho 3.
Bài 3: (4,0 điểm) 
Giải phương trình sau: 
Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.
	Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF.
Chứng minh: CM vuông góc với EF. 
Chứng minh: NB.DE = a2 và B, D, M thẳng hàng.
Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD
Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
--------------------------------------------------- Hết---------------------------------------------------
Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Họ tên thí sinh:- -----------------------------------------------Số báo danh: -----------------------------------
Chữ ký của giám thị 1: -----------------------------------; Chữ ký của giám thị 2: ---------------------------
PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG TOÁN 9
 NĂM HỌC 2016 - 2017 
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
Bài 1
5,0đ
a
2 đ
Điều kiện : x 0, x 1.
0,5
0,5
0,5
0,5
 b
 2,0đ
Với x 0, x 1. Ta có:
Vì nên (t/m)
Vậy P = khi x = 4 
0,5
 1,0
0,25
0,25
 c
 1,0đ
Vì 
Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0
Vậy P2  2P
0.25
0,25
0,25
0,25
Bài 2
4,0đ
A
2 đ
Vì x, y Z nên x - 1Ư(-1) =
+) Nếu x – 1 = 1 x = 2 
Khi đó 2y2  - y – 2 = - 1 
y = 1 (t/m)
 hoặc y = Z (loại)
+) Nếu x – 1 = -1 x = 0 
Khi đó 2y2  - y = 1 
y = 1 (t/m)
 hoặc y = Z (loại)
Vậy 
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
b
2đ
a) Từ giả thiết 
Vì a, b, c 0 nên a + b + c = 0
Vậy với a, b, c 
Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thức
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) 
mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm.
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
Bài 3
4,0đ
a
2đ
Đkxđ: 
Vì với 
10x – 20 
Ta có: 
Vậy phương trình có nghiệm là x = 4
 0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
b
2đ
x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.
* x + y + 1 = - 4 khi x = - 5; y = 0
* x + y + 1 = - 1 khi x = - 2; y = 0
Vậy Amin = - 4 khi x= - 5; y = 0
 Amax = - 1 khi x = -2; y = 0
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 4
6,0 đ
a
2đ
Ta có: (cùng phụ với )
Chứng minh được: EDC = FBC (cạnh góc vuông – góc nhọn) 
CE = CF
ECF cân tại C
Mà CM là đường trung tuyến nên CM EF
(
1.0
1,0
B
2 đ
* Vì EDC = FBC ED = FB
 NCF vuông tại C. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 
BC2 = NB.BF
a2 = NB.DE (đpcm)
* CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên 
AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên 
CM = AM M thuộc đường trung trực của AC.
Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực của AC
B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của AC (đpcm).
0,5
0.5
0.5
 0.5
c
2đ
 Đặt DE = x (x > 0) Þ BF = x 	
 SACFE = SACF + SAEF = 	
 SACFE = 3.SABCD 
Do x > 0; a > 0 Þ 3a + x > 0 x = 2a
A là trung điểm của DE AE = a
Vì AE //BC nên 
N là trung điểm của AB.
Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD 
0.5
0.25
0.5
0,5
0.25
Bài 5
1,0đ
* Vì a, b, c > 0 nên .
Tương tự: 
 (1)
* Ta có: 
Vì a, b, c > 0 nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có:
Tương tự: 
Dấu ‘ =” xảy ra khi a = b +c; b = c + a; c = a +b
tức là a = b = c (vô lý).
 (2) 
Từ (1) (2) ta có đpcm.
0,5
 0,5
 Lưu ý khi chấm bài:
 Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
Với bài 5, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.